中小学教育资源及组卷应用平台 第二十一讲 数列的概念及其表示 【考纲解读】 理解数列的定义，掌握数列表示的基本方法； 理解并掌握数列的通项公式和数列的前n项和公式，注意数列的通项公式与数列的前n项和公式之间的关系； 了解数列的递推公式是数列表示的方法之一，能够运用数列递推公式写出数的前几项。 【知识精讲】 一、数列的概念： 1、数列的定义： （1）数列的定义：按一定的顺序排成一列的一组数，叫做数列； (2)数列的项：数列中的每一个数，称为数列的项，排在数列的第一个数，称为数列的第一项，通常也称为首项。 2、数列的表示： （1）数列表示的基本方法：数列的表示方法与函数的表示方法一样有：①解析式法；②列表法；③图像法； （2）数列的一般形式：① ，，--，，--；②｛｝。 3、数列的分类： （1）按照数列项数的多少数列可以分为：① 有限数列（也称为有穷数列）；② 无限数列（也称无穷数列）； （2）按照数列项与项之间的大小关系数列可以分为：①递增数列；②递减数列；③常数数列；④摆动数列； （3）按照数列的结构数列可以分为：①等差数列；② 等比数列。 二、数列的通项公式与前n项和公式： 1、数列的通项公式： （1）数列通项公式的定义：数列｛｝的第n项可以用一个与序号n相关的式子来表示， 这个式子叫做数列的通项公式，一般用表示； （2）数列的递推公式：数列｛｝的第n项可以用它的前一项（或前几项）相关的式子来表示，这个式子叫做数列的递推公式； 2、数列的前n项和公式： （1）数列前n项和的定义：一个数列的前n项相加所得的结果，叫做这个数列的前n项和，通常用来表示（即=++--+）； （2）数列｛｝的前n项和公式的定义：一个数列的前n项和可以用一个与序号n相关的式子来表示，这个式子叫做数列｛｝的前n项和公式； （3）数列的通项与前n项和之间的关系： ， n=1， = - ， n≥2。 3、理解数列定义应该注意的问题： （1）数列与函数的关系：数列｛｝可以看成是以正整数的有限子集｛1， 2， 3， --， n｝为定义域的特殊函数=f(n)，所以数列一定是函数，但函数不一定是数列； （2）数列递推公式的特殊含义：数列递推公式是数列表示的基本方法之一，根据数列递推公式，可以写出数列的前几项； （3）根据数列的前几项可以写出数列的一个通项公式：根据数列的前几项，运用“观察”，“分析”，“归纳”，“猜想”和“验证”的思想方法就可写出数列的一个通项公式（注意：这样的通项公式不唯一）。 【探导考点】 考点1根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：热点①已知的前几项符号交错；热点②已知的前几项整数，分数交错； 考点2根据数列通项公式与前n项和公式的关系式，求数列的通项公式：热点①已知将式子中的前换成-；热点②将式子中的-前换成； 考点3根据数列的递推公式，求数列的通项公式：热点①构造等差数列；热点②将构造等比数列；热点③使用累加法；热点④使用累乘法； 考点4数列的性质及运用：热点①数列的单调性及运用；热点②数列的周期性及运用；热点③数列相关的最值问题。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、下列四个结论：①数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）{1，2，3，--，n}上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列的通项公式是唯一的。其中正确的是（ ） A ①② B ①②③ C ②③ D ①②③④ 2、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ） A 1, ，，，-- B sin，sin ，sin ，-- C -1, -，-，-，-- D 1，，，--， 3、已知=n(n+1)，下列四个数中为数列｛｝中的一项的是（ ） A 18 B 21 C 25 D 30 4、已知数列｛｝的通项公式=。 （1）写出数列的前五项； （2）求数列的前五项的和 ... ...
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