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课件网) §4 §4 向量在立体几何中的应用 4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系 1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 2.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 3.理解并会用三垂线定理及其逆定理. 核心素养：直观想象、数学运算. 学习目标 问题导入 平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？ 一 用空间向量处理平行或垂直关系 新知学习 设向量分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量，则 ∥或与重合； ∥或； ∥或与重合； ； ； . 新知讲解 三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. 二 三垂线定理及三垂线定理的逆定理 A B C l l 例 已知： 证明：设是直线l的一个方向向量，则由 思考 三垂线定理及其逆定理有何区别与联系 联系:都是一面三线,三种垂直关系. 区别:①从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直 线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反; ②从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直 异面直线垂直”,而逆定理恰好相反. 三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. (1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.( ) (2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.( ) (3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( ) 1.判断正误 √ 即时巩固 √ √ 2.已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则（ ） A.l⊥α B.l∥α C.l α D.l∥α或l α D 一、证明线线垂直问题 例1 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC. 证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴， 在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 典例剖析 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 跟踪训练 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明 设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 二、证明线面垂直问题 例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD. 证明 由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图， 设DC＝PD＝1， 即x＋y －z＝0. ① 所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ② 因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE 平面EFD.所以PB⊥平面EFD. 方法二 设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量， 反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 ①将直线的方向向量用坐标表示. ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. ③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直. (2)利用平面的法向量 ①将直线的方向向量用坐标表示. ②求出平面的法向量. ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 跟踪训练 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC. 证明 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2, ... ...
