山东省济南市2022-2023学年高三下学期学情检测（一模）数学试题（扫描版含答案）

高三年级学情检测 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D C B D A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 ACD AB AD ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 3 4 4 4 3 13．240；14． 或 ；15． (0，e]；16． ． 3 3 2 2 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【解析】 （1） X 的所有可能取值为：1，2，3，4， 1 5 1 5 则 P(X =1) = ， P(X = 2) = = ， 6 6 6 36 5 5 1 25 5 5 5 125 P(X = 3) = = ， P(X = 4) = = ； 6 6 6 216 6 6 6 216 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 p 1 5 25 125 6 36 216 216 所以 X 的数学期望为 1 5 25 125 671 E(X ) =1 + 2 + 3 + 4 = ． 6 36 216 216 216 （2）设事件“甲掷第 n次且不获胜”的概率为 a ， n 5 5 5 25 由题可知： a = ，且1 an = an 1 = an （1 n 2)， 6 6 6 36 - 1 - n 1 所以 数列 a 5 25是以 为首项， 为公比的等比数列，则 5 25 n an = ， 6 36 6 36 n 1 5 1 1 25 所以 甲恰好抛掷第 n次且赢得比赛的概率 Pn = an 1 = ， 6 6 6 36 n 1 1 25 当 n =1时符合，所以 Pn = ． 6 36 18．【解析】 （1）因为 (a +b)(sin A sin B) = bsinC ，由正弦定理得： a2 b2 = bc ， b2 + c2 a2 c2 bc c b sinC sin B 所以 cos A = = = = ， 2bc 2bc 2b 2sin B 所以 2cos Asin B = sinC sin B = sin(A+ B) sin B = sin Acos B + sin Bcos A sin B ， 所以 sin B = sin Acos B sin Bcos A= sin(A B)， 因为 0 B ， A B ， 所以 B = A B，或B +（A B）= (不合题意)， 所以 A= 2B ． 2 3 （2）由正弦定理得： = ， sin B sin A 又因为 sin A = sin 2B = 2sin Bcos B， 2 3 3 7 所以 = ，所以 cos B = ， sin B = ． sin B 2sin Bcos B 4 4 因为 a = 3，b = 2，由（1） a2 5 b2 = bc 可得： c = ， 2 1 15 7 所以 S = acsin B = ； 2 16 15 7 即 △ABC 的面积为 ． 16 19．【解析】 （ ）因为 2S = a21 n n + a n 2 2 n ，当 时， 2Sn 1 = an 1 + an 1， 作差得 2a = a2 a2n n n 1 + a a ，整理得 an + an 1 = (an + an 1)(an n 1 n an 1)， 因为 an 0 ，所以 an an 1 =1； 当 n =1时， 2a1 = a 2 1 + a1 ，因为 a1 0，所以 a1 =1； - 2 - 所以 数列{an}是首项为 1 公差为 1 的等差数列， 所以 an = n ． 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）由题意可知 Tn = + + + ...+ = + + + + a2 a2 a2 a2 2 2 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 因为 = ( )(n 2) n2 n2 ， 1 2 n 1 n +1 7 当 n =1时，T1 =1 ； 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n 2时，Tn 1+ (1 ) + ( ) + ( ) + + ( ) 2 3 2 2 4 2 3 5 2 n 1 n +1 1 1 1 1 1 7 =1+ + ( + ) ． 2 4 2 n n +1 4 得证． 20．【解析】 （1）取M ，N 分别为棱 PA，PB的中点，连接DM ，MN，NC， 1 1 则MN AB，MN = AB；因为 CD AB ，且CD = AB ， 2 2 所以 MN CD ，且MN =CD， 所以 四边形MNCD 为平行四边形，故 DM CN ． 因为DP = DA，M 为棱 PA的中点，所以 DM ⊥ PA； 因为 AB ⊥ AD ，平面PAD ⊥底面 ABCD，平面 PAD 底面 ABCD = AD， 所以 AB ⊥平面 PAD ，因为 DM 平面 PAD ，所以 AB ⊥ DM ； 又 AB PA = A，所以 DM ⊥平面 PAB ． 因为 DM CN ，所以 CN ⊥平面 PAB ， 又因为 CN 平面 PBC ，所以 平面 PBC ⊥平面PAB ． （2）取 AD中点为O，连接 PO，因为 △PAD 为等边三角形，所以 PO ⊥ AD， 因为 平面 PAD ⊥底面 ABCD， 所以 PO ⊥底面 ABCD，过O ... ...