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课件网) 本课内容 本节内容 1.4 角平分线的性质 第1课时 湘教版数学 八年级下册 1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 2、什么是角平分线 一条射线将一个角分成为两个相等的角， 这条射线就叫做这个角的角平分线。 如图∠AOB沿射线OC对折， ∠AOC 和∠COB重合。 A B O C 如上图，射线OC是∠AOB的平分线。 ∠AOC = ∠COB = ∠AOB 1 2 2.分别以MN为圆心．大于 MN的长为半径作 弧．两弧在∠AOB的内部交于C． 1 2 A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 你能证明吗？ 3、用尺规作已知角的平分线： 作法：1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 3．作射线OC． 射线OC即为所求． 如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作 PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与 PE相等吗？你能得出什么结论？ A O B P E D PDO≌ PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？ 将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，即：PD=PE. 已知：OC是∠AOB的平分线， 点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB， 垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： ∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE. 交换定理的题设和结论得到的命题为： A O B P E D 1 2 到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。 角平分线的性质 注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。 角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。 角平分线的判定定理： 用符号语言表示为： ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE∴ ∠1= ∠2 . A O B P E D 分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 . 则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上） 证明：Rt PDO≌Rt PEO(HL)即可 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合. 1 2 如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证： 点P在∠AOB的平分线上。 1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 . （1）求证：点B在∠ADC的平分线上 . （2）求证：BD是∠ABC的平分线 . 1 2 D C A B 证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC， ∴点B在∠ADC的平分线上 （2）在Rt BAD和Rt BCD中， ∵ BA=BC BD=BD ∴ Rt BAD≌Rt BCD (HL) ∠ABD= ∠CBD ∴ BD是∠ABC的平分线 ∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD 例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？ ∵ ∠C=90° （已知） ∴ DC⊥BC（垂直的定义） 又∵ BD是∠ABC的平分线 ∵ DE⊥BA（已知） ∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等） 答： (1) DE=DC (2) BE=BC 角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径 A B C D E 1 2 3 4 做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识 1、填空： (1) ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB ∴_____ (_____) (2) ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE ∴_____ （ ） A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 角平分线上的点到角的两边的距离相等 (3)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 。 5 E D A C B (3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ BD = CD ， （ ） √ D C B A （2）∵ 如图，DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ BD = CD，( ) D C B A 2、判断以下所填结论是否正确： × （1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD= CD ( ) A D C B × 3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。 ∴ DE=AD=6（角平分线上的任意点 到角的两边的距离相等） E D B A C 解：∵ ∠A ... ...
