数形结合思想专题 数学解题中的数形结合，指的是对题目中的条件、结论及题意背景从代数几何两方面考虑，在两方面的结合处寻找思路，数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。在解题过程中，巧妙的应用数形结合这一方法，可以使复杂抽象的问题，变的清晰明了。实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。以下分三个方面介绍。 一、利用函数的图象 解方程问题 方程f(x)=g(x)的实数解是曲线y=f(x)与y=g(x)的交点横坐标。特殊方程f(x)=0的实数解是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。 已知是的根，是的根，则_____. 解：利用原函数与反函数的图象对称性求解。设， ， ，如图1，交点。因为A，B关于y=x 对称，所以，， 所以。 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0有_____个根， 两方程所有根之和为_____. 解：设，，由两函数图象关于 对称，知两函数图象与x轴交点个数相同，所以方程f(1-2x)=0也有三个根，且这六个根之和为。 例3、已知方程，，若方程有两个不相等的 实根，则=_____。 解数列问题 等差数列中，，前项和为，且，，则当取最大值时，n=_____. 解：因为是n的二次函数，所以，其图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的点集。由题可知，该数列公差小于0，对应的抛物线开口向下，与横轴一个 交点为0，另一交点坐标在区间(9,10)内，如图3。由此可得，抛物线 的顶点横坐标在区间(4.5,5)内，所以，当n=5时，最大。 解不等式问题 已知的图象如图4所示，其定义域为， 解不等式 分析：对于给出图形的抽象函数，进行求解时利用所给函数的性质结合图形往往比较简捷。 解：，即异号，结合图形可知，当x>2时，， 当时，，所以的解集为{x|x>2或x<-2}。 点评：数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象 思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。 二、 利用曲线方程的图形 4、求概率 例5 、在长度为a的线段内任取两点，将线段分为三段，以这三段为边能 构成三角形的概率为_____. 解： 设三边为x,y,a-(x+y)，则 0
a-(x+y) ， 所以 ，作出满足条件0
