3.2.2双曲线的简单几何性质 (1) 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质 学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 课程目标 学科素养 A.掌握双曲线的简单几何性质. B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 1.数学抽象：双曲线的几何性质 2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质 3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质 4.直观想象：双曲线的几何性质 重点：运用双曲线的方程获得几何性质 难点：双曲线的渐近线及离心率的意义 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 问题导学 类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 (>0，>0)， 的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 1、范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程可得 于是，双曲线上点的坐标（ ， ）都适合不等式， 所以 或; 2、对称性 (>0，>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 . 顶点是 （2）如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴， 它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。 （3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 4、渐近线 （1）双曲线 (>0，>0)，的渐近线方程为： （2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 4、渐近线 慢慢靠近 5、离心率 （1）定义：e = （2）e的范围：e >1 （3）e的含义： 因为另外，注意到=,说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄. 如果双曲线C的标准方程是 (>0，>0)， 那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中， 那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？ 双曲线的几何性质 标准方程图形 标准方程性 质范围x≤-a或x≥a y∈Ry≤-a或y≥a x∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b; 半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线 y=± y=±离心率a,b,c间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) (1)双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>100,b>0)的形状相同. ( ) (2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ 2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为( ) A.-5 B.-35 C.19 D.-11 解析:由圆锥曲线=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线, 所以m<-8,∴e==2,解得m=-35. 答案:B 二、典例解析 例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1, 即=1,所以a=3,b=2,c=. 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(-,0),(,0), 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离 ... ...
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