第十一讲 推理与证明 1．(反证法)用反证法证明命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”时，假设的内容应为_____． 【解析】———x＝y＝0”的否定是“x，y中至少有一个不为0”． 【答案】 x，y中至少有一个不为0 2．(三段论推理)“三角函数是周期函数(大前提)，y＝tan x，x∈是三角函数(小前提)，所以y＝tan x，x∈是周期函数(结论)”，上面推理的错误是_____． 【解析】 y＝tan x，x∈不是三角函数，故小前提错误． 【答案】 小前提错误 3．(归纳推理)观察下列不等式 1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， …——— 照此规律，第五个不等式为_____． 【解析】 观察所给每个不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的底数与右端值的分母相同，且每行右端分数的分子构成以a1＝3，公差d＝2的等差数列，故第5个不等式为1＋＋＋＋＋＜. 【答案】 1＋＋＋＋＋＜ 4．(类比推理)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝_____. 【解析】 设四面体S－ABC的内切球球心为O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC， 即：V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r， 可得：r＝. 【答案】 5．(直接证明)在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是_____(形状)． 【解析】 ∵sin Asin C＜cos Acos C， ∴cos(A＋C)＞0，即cos B＜0， ∴∠B为钝角，△ABC为钝角三角形． 【答案】 钝角三角形 归纳推理 (2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n,3)＝n2＋n， 正方形数 N(n,4)＝n2， 五边形数 N(n,5)＝n2－n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n， …… 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝_____. 【思路点拨】 重点分析k与n2及n的导数的关系，从而归纳出N(n，k)，则N(10,24)可求． 【自主解答】 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2－n，于是N(n，24)＝11n2－10n.故N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】 1 000 1．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠． 2．归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察———归纳———猜想———证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想． 变式训练1 (2013·南昌模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …， 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝_____. 【解析】 观察所给等式知，第n个等式的右边有n项， 右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1. 【答案】 (－1)n＋1 类比推理 (2013·金华模拟)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则＝＋；类比此性质，如图3－3－1，在四面体P—ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为_____． 图3－3－1 【思路点拨】 由直角三角形的高联想到空间四面体 ... ...
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