2.2 二倍角的三角函数 课件（共25张PPT）

2.2 二倍角的三角函数 第2章 学习目标 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能够正确运用倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 3.通过倍角公式的推导，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系. 重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式. 难点：倍角公式与以前学习的同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用. 学习目标 新知学习 1.二倍角公式 思考：你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin 2α，cos 2α，tan 2α的一般公式吗？ 如果在两角和的正弦公式Sα+β中，令β＝α，则可得出求sin 2α的公式， 即 sin 2α＝sin（α+α）＝sin αcos α+cos αsin α＝2sin αcos α. 类似地，可得 cos 2α＝cos（α+α）＝cos αcos α-sin αsin α＝cos2α-sin2α， tan 2α＝tan（α+α）＝tan????+tan????1?tan????tan????＝2tan????1?tan2????. ? 因此 S2α：?????????????2????＝2??????????????????????????????????， C2α：?????????????2????＝cos2α?sin2α， T2α：?????????????2????＝2tan????1?tan2????. ? 这3个公式称为倍角公式. 需要注意的是，因为sin2α+cos2α＝1，所以C2α也可改写为 ?????????????2????＝2cos2?????1＝1?2sin2????. ? 1.二倍角的“广义理解”：二倍角的“倍”是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角，α2是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想. 2.一般情况下，sin 2α≠2sin α，如sinπ3≠2sinπ6，只有当α＝nπ，n∈?????时，sin 2α＝2sin α才成立，同理cos 2α＝2cos α，tan 2α＝2tan α在一般情况下也不成立. 3.对于公式S2α和C2α，α∈????，但是在使用公式T2α时，要保证公式的左、右两边都有意义. ? 名师点拨 2.二倍角公式的变形 （1）求积变换：sin αcos α＝12sin 2α. （2）配方升幂变换：1±sin 2α＝（sin α±cos α）2. （3）因式分解变换：cos 2α＝cos2α-sin2α＝（cos α+sin α）（cos α-sin α）. （4）降幂扩角变换：cos2α＝1+?????????????2????2，sin2α＝1??????????????2????2. （5）升幂缩角变换：1+cos α＝2cos2?????2，1-cos α＝2sin2?????2. ? 例1 求值：（1）sinπ8cosπ8；（2）2cos2?π12-1；（3）cos2?π6-sin2?π6；（4）2?????????????15°1?????????????215°. ? 解题提示:分别利用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简求值即可. 解:（1）sinπ8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12×22＝24. （2）2cos2?π12-1＝cos2×π12＝cosπ6＝32. （3）cos2?π6-sin2?π6＝cos2×π6＝cosπ3＝12. （4）2tan?15°1?tan215°＝tan 30°＝33. ? 例2 化简：（1）1+sin?20°+?1?sin?20°；（2）1+sin?4α+cos?4α1+sin?4α?cos?4α. ? 解:（1）原式 ＝sin210°+cos210°+2sin?10°cos?10°+?sin210°+cos210°?2sin?10°cos?10° ＝sin?10°+cos?10°2+?sin?10°?cos?10°2 ＝|sin 10°+cos 10°|+|sin 10°-cos 10°| ＝sin 10°+cos 10°+cos 10°-sin 10° ＝2cos 10°. （2）原式＝1+2sin?2αcos?2α+2cos22α?11+2sin?2αcos?2α+2sin22α?1＝2cos22α+2cos?2αsin?2α2sin22α+2sin?2αcos?2α＝2cos?2αcos?2α+sin?2α2sin?2αsin?2α+cos?2α＝1tan?2α. ? 1.利用二倍角公式给角求值 例1 计算：（1）sin?π12cos?π12；（2）1-2sin2750°；（3）2tan?150°1?tan2150°. ? 解:?（1）原式＝2sin?π12cos?π122＝?sin?π62＝?14. （2）原式＝cos（2×750°）＝cos 1 500°＝cos（4×360°+60°）＝cos 60°＝12. （3）原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝-?3. ? 反思感悟 应用二倍角公式求值的策略 （1）四个方面：分别从“角 ... ...