人教A版（2019）选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ） A． B．2:6 C． D． 4．已知向量，，并且，则实数x的值为（ ） A．10 B．-10 C． D． 5．设向量，，若，则实数的值为（ ） A．2 B． C．或 D．2或 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，侧棱底面,是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论正确的是 A．当点为线段的中点时，平面 B．当点为线段的三等分点时，平面 C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D．不存在点，使与平面垂直 8．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A． B． C． D． 9．在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围（ ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ） A． B．或 C． D．或 11．已知向量，分别是平面，的法向量，若，则（ ） A．， B．， C．， D．， 12．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（ ） A． B． C． D．l与斜交 二、填空题 13．已知点，，点满足，则点的坐标是_____. 14．已知向量，，若，则实数_____． 15．已知点，，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为_____． 16．已知向量，，，则_____． 三、解答题 17．已知点，，． （1）若D为线段的中点，求线段的长； （2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值． 18．已知向量，，，，与垂直，_____.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并完成解答. (1)求； (2)求向量的坐标. 19．如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长. 20．已知，，且，求m，n的值． 21．已知，，． (1)求以线段，为邻边的平行四边形的面积； (2)是否存在点，使四边形为等腰梯形，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．B 由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项. 【详解】 由可以推出，反之不一定成立，例：、，则， 故①不正确； 当时，，故②不正确； 当时，，即，反之也成立，故③正确. 所以正确命题的个数为：1. 故选：B. 2．B 直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果． 【详解】 因为的顶点分别为，2，，，4，，，4，， 则， ， ． 所以． 所以的形状为直角三角形． 故选：B 本题考查空间点的坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 3．A 以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解. 【详解】 如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故选：A 本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 4．B 根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可. 【详解】 解：∵， ∴， 解得. 故选：B. 本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于. 5．C 直接利用空间 ... ...