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课件网) 13.5.3 角平分线 八上 数学 华师版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 学习目标 1.掌握角平分线的定理及其逆定理. 2.理解角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 3.能利用定理进行证明或计算，解决相关实际应用问题. 重点 难点 重点 新课引入 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ A B C 新知学习 一 角平分线的性质定理 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 已知: 如图， OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD丄OA，PE丄OB, 垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. D P A C B E O 你能写出完整的证明过程？ 下面我们来证明刚才得到的结论： 分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明 这两个三角形全等，便可证得PD=PE. D P A C B E O 证明:∵OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴△OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. 归纳 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. D P A C B E O 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 归纳 这样的点有多少个？ 思考 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到线段两端的距离相等. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 二 角平分线的判定定理 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等. B A D O P E 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：过点O、P作射线OP. ∵ PD⊥OA, PE⊥OB ， ∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO和 Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO, (H. L.), ∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. B A D O P E 归纳 角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. D P A C B E O 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 归纳 试一试 你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？ 分析：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下： AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PD=PF PD=PE PF=PE 点P在∠BCA的平分线上 A B C P D F E 试试看，现在你会证明了吗？ 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC, 垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, ∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. ∴ PD=PF（等量代换）. ∴ 点P在∠A的平分线上, 已 ... ...
