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课件网) 8.6.2直线与平面垂直 旗杆与地面垂直 问题：阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系. A B α 旗杆所在直线始终与影子所在的直线垂直. a b 1.线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 1.直线与平面垂直的定义 P α ②“若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面.” (×) ③“直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线.” (×) (线面垂直→线线垂直) 画法：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2.直线与平面垂直的判定 ①一条直线和平面内的一条直线垂直，能确保线面垂直吗？ ②一条直线和平面内的两条直线垂直，能确保线面垂直吗？ 1)一条直线和平面内两条平行直线垂直，能确保线面垂直吗？ 2)一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？ 2.直线与平面垂直的判定 问题4 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后竖放在桌面上（BD，DC与桌面接触）． (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面a垂直． A B D C C C C 当折痕AD⊥BC且翻折后BD与CD不在一条直线上时， 折痕AD与桌面所在的平面垂直. C A B D C 2.直线与平面垂直的判定定理 3.线面垂直的判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面. ①符号语言： ②本质：线线垂直→线面垂直 ③关键：证两次线线垂直 m n P ④推论：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面. 即： m n 2.直线与平面垂直的判定定理 P152-2.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形， SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB. [练习1]三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC. A B C V · D 取AC的中点D 连接VD,BD. P152-3.如图, 直四棱柱 A B C D -ABCD中, 当底面四边形ABCD满足条件_____时，B D ⊥A C. A B C D A B C D 2.直线与平面垂直的判定定理 BA=BC且DA=DC AC⊥BD P152-4. 过△ABC所在平面α外一点P, 作PO⊥α, 垂足 为O, 连接PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, 则O是△ABC的 心. (2) 若 PA=PB=PC, ∠C=90 , 则O是AB的 点. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则O是△ABC的 心. A B C P O a ∵PO⊥α，∴∠POA=∠POB=∠POC=90 , 又 PA=PB=PC, ∴△POA≌△POB≌△POC, 得OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心. 外 中 (3)PA⊥PB, PA⊥PC, 得 PA⊥平面PBC, ∴PA⊥BC. 由PO⊥α得PO⊥BC, 得BC⊥平面POA, ∴BC⊥AO. 同理可得AB⊥CO,∴O 为△ABC的垂心. 垂 3.直线与平面所成角(线面角) 一条直线l与一个平面α相交，但与这个平面不 垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO 过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线PA在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所 成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角. 斜线 斜足 垂足 射影 3.直线与平面所成角(线面角) 3.线面所成角：直线和它在面内的射影所成角. 如：∠PAO是直线PA与平面α所成角. (1)射影：斜足(已知)与垂足(找)所在直线； 斜线 斜足 垂足 射影 过线上一点作面的垂线 (2)斜线与平面所成角的范围： 直线与平面所成角的范围： (3)求线面角的方法： ①作垂线(过斜线上一点作平面的垂线———证线面垂直) ②连射影(连接斜足和垂足) ③定夹角(斜线和射影所夹角) ④求夹角(构造△求角) 3.直线与平面所成角(线面角) [P152-例4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求直线A1B与平面A1DCB1所成的角. 3.直线与平面所成角(线面角) [练习1]长方体ABCD-A1B1C1 ... ...
