第九章第03讲 成对数据的统计分析 (精讲）（含解析）

第03讲 成对数据的统计分析 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：成对数据的相关性 题型二：回归分析 角度1：经验回归方程及应用 角度2：非线性经验回归方程及应用 角度3：相关系数 角度4：残差分析 题型三：列联表与独立性检验 第四部分：高考真题感悟 知识点一：变量的相关关系 (1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. (2)正相关、负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关. (3)线性相关、非线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. 一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 知识点二：样本相关系数 （1）相关系数的计算 变量与变量的样本相关系数的计算公式如下： （2）相关系数的性质 ①当时,称成对样本数据正相关;当时,称成对样本数据负相关. 当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为,当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 知识点三：一元线性回归模型 (1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为 我们称该式为关于的一元线性回归模型. 其中,称为因变量或响应变量,称为自变量或解释变量;和为模型的未知参数,称为截距参数,称为斜率参数;是与之间的随机误差. （2）经验回归方程 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中 （3）利用刻画回归效果 的计算公式为，其意义是越大，残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 知识点四：列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表. 合计 合计 (2)独立性检验 依据上述列联表构造统计量 利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. 常用的小概率值和临界值表 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1．（2022·重庆·高二阶段练习）甲 乙 丙 丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数，如下表： 甲 乙 丙 丁 则试验结果中两变量有更强线性相关性的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性． 故选：B． 2．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（文））在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为样本数据所对应的点都在直线上，所以. 故选：C 3．（2022·河南南阳·高二期末（文））对两个变量与进行回归分析，有个不同模型可供选择，其中拟合效果最好的是（ ） A．模型的相关系数为 B．模型的相关系数为 C．模型的相关系数为 D．模型的相关系数为 【答案】A 【详解】对于模型而言，当越接近于，则模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型. 故选：A. 4．(多选）（2022·全国·高二课时练习）下列散点图中，变量X，Y可用直线拟合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题可知A，B中的点落在一条直线附近，故其变量X，Y有近似的线性关系； C，D中的点没有落在一条直线附近，故其变量X，Y不具有近似的线性关系. 故选：AB． 5 ... ...