专题8：导数与不等式的证明 近几年新高考中利用导数证明不等式是命题热点之一，应用导数证明不等式，它的关键就在于找出与和这个不等式紧密连着的函数，通过导数作为工具来研究函数的单调性、极值以及最值等，从而实现不等式的证明；由于题型自身的结构不同，因此构成的函数和应用的方法也是不同的，证明过程中的常用方法主要有构造函数法、凹凸反转法、放缩法，同时注重灵活应用函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想. 1.利用导数证明不等式在区间D上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者利用函数的最值证明.其中要特别关注如下三点： (1)是直接构造，还是适当变形化简后构造，对解题的繁简有影响. (2)找到的零点，往往是解决问题的一个突破口. (3)构造函数是将不等式问题转化为函数问题的关键.为了便于利用导数研究函数的性质，常用分析法将要证明的不等式进行适当变形、化简或放缩，然后构造相应的函数. 2.利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)对新函数求导； (4)根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；(5)结论． 3.构造函数证明不等式的技巧： (1)移项法：证明不等式的问题转化为证明，进而构造辅助函数； (2)利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法. (3)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数． 题设情境是应用导数求常系数函数的最值，证明两个函数存在二条公切线，证明不等式.第（1）问应用导数与函数最值的基本知识求解；第（2）问应用分别设两个函数的切点并求出切线方程，由公切线的充要条件得到关于两切点横坐标的方程组，通过消元结合零点定理证明方程有两解；第（3）问由待证不等式通过等价变形，然后构造函数应用导数求其最小值，证明最小值恒为正，从而证明原不等式. 例1（温州市普通高中2023届高三第一次适应性考试）设函数,,其中,，是自然对数的底数． （1）设,当时,求的最小值； （1）证明：当,时,总存在两条直线与曲线与都相切； （3）当时，证明：． 【思路点拨】 第（1）问应用导数求函数最值的方法求解；第（2）问设切点分别求得曲线与的相切方程，由公切线得到关于某个切点的横坐标的方程，然后利用第（1）问的相关结论，应用导数研究函数零点的方法，证明该方程有两不同实根；第（3）问由，构造函数，应用导数论证该函数的最小值恒为正实数即可. 练1(2021年全国卷I)设函数,已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明:． 练2（广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年下学期期中考试）已知函数 （1）讨论函数的单调性; （2）若，证明: 题设情境是应用导数讨论含参数函数的单调性，应用凹凸反转证明不等式.第（1）问应用导数与函数单调性的基础知识，利用导数的零点与函数定义域的所属关系.应用分类与整合思想求解；第（2）问将待证不等式通过恰当变式，即分离为，然后由不等式左右两边的解析式构造函数，依据的其最大值小于的最小值恒证明原不等式，即凹凸反转法证明不等式. 例2（山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期中考试）已知函数． （1）讨论的单调性． （2）当时，证明：． 【思路点拨】 第（1）问应用导数研究函数的单调性方法，分类讨论确定函数的单调性；第（2）问依题 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
