8.6.3 平面与平面垂直 课件（共25张PPT）

8.6.3平面与平面垂直 1.二面角的定义 (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. a b l A B P Q 记作二面角a-l-b 二面角a-AB-b 二面角 P-l-Q 二面角P-AB-Q 二面角C-AB-D 1.二面角的平面角的定义 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的范围：0≤θ≤π 棱 l 上取一点O, 在半平面a 内作OA⊥l, 在半平面b 内作OB⊥l, 则∠AOB是二面角a-l-b 的平面角. A B O a b l A B O · a b l A B O · 1.二面角及其平面角 (1)二面角：两个半平面及其棱所成角. a b l A B P Q 二面角a-l-b 二面角a-AB-b 二面角P-l-Q 二面角C-AB-D ①记法： ②范围：[ 0o, 180o ] ③求法：棱 l 上取一点O，在a 内作OA⊥l，在b 内作OB⊥l， 则∠AOB是二面角a-l-b 的平面角. 1.求二面角的平面角 [例]正方体ABCD-A1B1C1D1中，面C1D1AB与底面ABCD所成 二面角C1-AB-C的大小为_____. [变式](1)正方体中，二面角A-C1C-B的大小为_____. (2)正方体中，二面角A-B’C-B的正弦值为__????????_____. (3)正四面体中，二面角A-BD-C的余弦值为__????????_____. ? 45° 2.面面垂直的定义 (2)面面垂直的定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直. 记作: a⊥b (平面角是直角的二面角叫做直二面角) 画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直. 注：(异面)直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则直线a,b所成角与这个二面角的平面角相等或互补. 3.面面垂直的判定定理 (3)面面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直. 符号： a b l [练习1]正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面 A1DB ⊥平面A1ACC1. [练习2]AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 性质定理 定义 判定定理 判定定理 性质定理 4.面面垂直的性质定理 (4)面面垂直的性质定理： 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 若α⊥β，α∩β=m，则β内任意一条直线l与m有什么关系？相应的l与面α有什么位置关系？ ①l // m时， l // α; ②l⊥m时， l⊥α. α β m l α β m l ①符号： ②若α⊥β，直线l⊥β， l?α， 则l //α. m a b l b ③若α⊥β，直线l //β， 则l与α的位置关系为_____. m a b 平行or相交or垂直 4.面面垂直的性质定理 [练习1]三棱台ABC－DEF中，面BCFE⊥面ABC，∠ACB＝90°， BE＝EF＝FC＝1，BC＝2. 求证：BF⊥平面ACFD. 证明：∵∠ACB＝90°，AC⊥BC； 又∵面BCFE⊥面ABC，面BCFE∩面ABC＝BC，AC?平面ABC，∴AC⊥平面BCK. ∵BF?面BCFE，∴AC ⊥BF. 三棱台中，延长AD，BE，CF相交于一点P， ∵EF∥BC，EF＝1，BC＝2，∴E, F分别是PB, PC的中点， ∴PB＝PC＝PC＝2， ∴△PBC为等边三角形，且F为CP的中点，∴BF ⊥CF. P ∵CP∩AC=C，CK, AC?平面ACFD，∴BF⊥平面ACFD. 4.面面垂直的性质定理 [练习2]三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC， 则△ABC是_____三角形. O 证明：取AB的中点O，连接PO. ∵PA＝PB，∴PO⊥AB. ∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB， ∴PO⊥面ABC. ∵OC?面ABC，∴PO⊥OC. ∵PO为公共边，PA＝PB＝PC， ∴Rt△POC≌Rt△POA≌Rt△POB(HL)， ∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点， ∴△ABC是直角三角形. 直角 4.面面垂直的性质定理 [P160-例10]如图，已知PA⊥面ABC，面PAB⊥面PBC， 求证：BC⊥面PAB. E P A B C E 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， 又∵面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB， AE?面PAB，∴AE⊥面PBC. ∵BC? ... ...