2.4 平面向量的数量积 一、选择题（共15小题） 1. 若 ，，且 与 的夹角为 ，则 A. B. C. D. 2. 若向量 ，， 满足 ，则 A. B. C. D. 3. 已知向量 ，，，则 A. B. C. D. 4. 已知向量 ，，若 ，则 A. B. C. D. 5. 已知 ，，，则 与 的夹角 为 A. B. C. D. 6. 对任意向量 ，，下列关系式中不恒成立的是 A. B. C. D. 7. 已知菱形 的边长为 ，，则 A. B. C. D. 8. 已知 ，，在 轴上有一点 ，使 有最小值，则点 的坐标是 A. B. C. D. 9. 在 中，，，有下述四个结论： ①若 为 的重心，则 ； ②若 为 边上的一个动点，则 为定值 ； ③若 ， 为边 上的两个动点，且 ，则 的最小值为 ； ④已知 为 内一点，若 ，且 ，则 的最大值为 ． 其中所有正确结论的编号是 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 已知向量 ，．若向量 ， 的夹角为 ，则实数 等于 A. B. C. D. 11. 如图，四个棱长为 的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则 的不同值的个数为 A. B. C. D. 12. 若函数 的图象（部分）如图所示，则 和 的取值是 A. ， B. ， C. ， D. ， 13. 已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，且满足 ，则实数 的值为 A. B. C. D. 14. 在 中，， 为 的外心，则 等于 A. B. C. D. 15. 如图，在四边形 中，，，，则 的值为 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 16. ． 17. 向量 ，，则向量 在向量 方向上的投影为 ． 18. 在正三角形 中， 是 上的点．若 ，，则 ． 19. 已知 ，，，则向量 ， 的夹角为 ． 20. 已知平面上三点 满足 ，，，则 的值等于 ． 21. 如图，在四边形 中，，，，，，点 是线段 上的一个动点，则 的最小值为 ． 三、解答题（共7小题） 22. 已知 ，， 与 的夹角是 ，计算： （1）； （2）． 23. 已知 ，，，用向量方法求解： （1）若 ，， 能构成三角形，求实数 应满足的条件； （2） 中，若 ，求实数 的值． 24. 已知平面向量 ， 满足：，，． （1）求 与 的夹角 ； （2）求向量 在向量 上的投影． 25. 已知 ，，． （1）求向量 与 的夹角 ； （2）若 ，且 ，求 及 ． 26. 已知 ，，． （1）求 的解析式及其最小正周期； （2）求 的单调增区间． 27. 已知 ，，其中 ，若函数 ，且 的对称中心到 对称轴的最近距离不小于 ． （1）求 的取值范围； （2）在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，且 ，，当 取最大值时，，求 的面积． 28. 已知三个点 ，，． （1）求证：； （2）若四边形 为矩形，求点 的坐标及矩形 两对角线所成锐角的余弦值． 答案 1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. B 7. D 8. C 【解析】设点 的坐标为 ，则 ，． ． 当 时， 有最小值 ， 此时点 的坐标为 ． 9. A 10. B 【解析】因为 ， ， 所以 ， 所以 ． 11. A 【解析】由题图知， 与上底面垂直，因此 ，． 12. C 【解析】因为 ．所以 ，即 ，所以 ，故有 ，把点（，）代入得 ． 13. B 【解析】由单位向量 ， 的夹角为 ， 则 ， 由 ， 可得，， 即 ， 则 ， 解得 ． 14. D 【解析】如图，过点 作 于 ， 可知 ， 则 ． 15. C 【解析】由 解得 因为 与 方向相同，所以 ， 所以 16. 17. 18. 【解析】如图：过点 作 于 ． 则 19. 【解析】因为 ， 所以 ，两边平方得 ，将 ， 代入，得 ，从而 ， 设向量 与 的夹角为 ，则 ，而 ， 所以 ，即向量 ， 的夹角为 ． 20. 【解析】提示：，． 21. 【解析】设 ，以点 为坐标原点， 为 轴，建立如图所示的直角坐标系： 所以 ，，，， 设 ， 因为 ， 即 ， 所以 ，，， ，， 所以 因为 ， 所以 ． 22. （1） 由已知得，． 因为 ， 所以 ． （2） 因为 ， 所以 ． 23. （1） ，， 与 不平行，则 ． （2） ，． 24. （1） 因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 ， 所以 ，，所以 ． （2） 因为 ， 所以 所以向量 在向量 上 ... ...
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