函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-高一数学上学期同步讲与练(人教A版必修第一册)（含解析）

函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域 一、复合函数的概念 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为， 则当时，函数为与在上的复合函数， 其中叫做内层函数，叫做外层函数 二、复合函数的单调性 1、复合函数单调性的规律：“同增异减” 若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数； 2、具体判断步骤 （1）求出原函数的定义域； （2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法 1、形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域， 但要注意“新元”的范围 2、形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域， 再利用的单调性求出的值域。 四、对数型复合函数值域的求法 1、形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域， 再利用在上的单调性，再求出的值域。 2、形如（，且）的函数的值域 借助换元法：令，先求出的值域， 再利用的单调性求出的值域。 题型一 复合函数的单调性判断 【例1】（多选）函数在下列哪些区间内单调递减（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】求函数的单调区间_____. 【变式1-2】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数的单调增区间是_____． 题型二 根据复合函数的单调性求参数 【例2】若函数在单调递减，则a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为_____. 【变式2-2】已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是_____． 【变式2-3】若函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是_____． 【变式2-5】已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三 复合函数的值域求解 【例3】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数在上的值域为_____. 【变式3-2】已知函数，则其值域为_____. 【变式3-3】已知函数，求的单调区间及最大值． 【变式3-4】已知． （1）设，求t的最大值与最小值； （2）求的值域． 【变式3-5】已知函数，求函数在上的最小值． 【变式3-6】已知函数，若，求在区间上的最大值． 题型四 根据复合函数的值域求解 【例4】若函数的最大值是2，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（ ） A．3 B． C． D． 【变式4-3】函数没有最小值， 则的取值范围是_____． 【变式4-4】已知函数，若的值域为R，求实数m的取值范围.函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域 一、复合函数的概念 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为， 则当时，函数为与在上的复合函数， 其中叫做内层函数，叫做外层函数 二、复合函数的单调性 1、复合函数单调性的规律：“同增异减” 若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤 （1）求出原函数的定义域； （2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法 1、形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域， 但要注意“新元”的范围 2、形如（，且）的函数求值域 借助换元法：令，先求出的值域， 再利用的单调性求出的 ... ...