温州市第二外国语学校2013学年第一学期高一学科知识竞赛 数学试卷 （考试总分：100分 考试时间：120分钟 命题老师：王 博 审题老师：林小平） 一．选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知函数，其中为实数，若对恒成立， 且，则的单调递增区间是 A. B. C. D. 2．设A到B的映射f：xy=(x－1),若集合，则集合B不可能是（▲） A、 B、 C、 D、 3．已知函数满足，且对任意的，有，设，则的大小关系为 A. B. C. D. 4．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB﹣sinA，sinB﹣cosA）在（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 5.定义运算，如，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 6．已知，且，则的值为 （ ） A． B． C． D． 7．我们定义渐近线：已知曲线，如果存在有一条直线，当曲线上任一点沿曲线运动时可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线；下列函数：① ② ③ ④ ⑤，其中有渐近线的个数（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8. 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（ ） A． B． C． D． 9.设函数,对任意恒成立,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10. 已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二．填空题（本题共5个小题，每题4分，共20分） 11.若，则_____ 12. 函数的图象为C，如下结论中正确的是 ． ①图象C关于直线对称； ②图象C关于点对称； ③函数f（x）在区间内是增函数； ④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C． 13. 若函数对于上的任意都有，则实数的取值范围是 ▲ ． 14. 已知函数，，对于任意的 ，总存在，使得成立，则实数的最小值 ▲ 15. 关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 三．解答题（共4个小题，共40分） 16.（8分）已知函数的定义域为，求实数的取值范围。 17. （10分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数； （ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 18.（10分）已知，设函数 的最小值为 （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. （12分）已知函数 ． （I）判断函数在的单调性并用定义证明； （II）令，求在区间的最大值的表达式． 温州市第二外国语学校2013学年第一学期学科知识竞赛 高一数学参考答案 一.选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C C C D C C 二．填空题（本题共5个小题，每题4分，共20分） 11． 12．①②③ 13． 14． 15． 三．解答题（共4个小题，共40分） 16.解：的定义域为 18. 解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad）， 则，故，又OP=10﹣10tanθ， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令y′=0得sin，因为，所以θ=， 当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处． 19. 解：（Ⅰ）则 当时，； 当时，. 综上得； （Ⅱ）显然，，则. （1）当，函数在此区间递增，则，显然不符； （2）当， （ⅰ）当 ... ...
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