第9章 复数 一、选择题（共12小题） 1. 对实系数一元二次方程 ，下列结论不成立的是 A. 当 时，有相等的根 B. 当 时，有不相等的两虚根 C. 两根 ， 满足 ， D. 当 时，两根之积不一定为正 2. 若 （ 是虚数单位）是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设 ，，，若 为纯虚数，则实数 的值为 A. B. C. D. 或 4. 已知 ，，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知复数 （其中 为虚数单位），则其共轭复数 的虚部为 A. B. C. D. 6. 若复数 ，则把这种形式叫做复数 的三角形式，其中 为复数 的模， 为复数 的辐角，若一个复数 的模为 ，辐角为 ，则 A. B. C. D. 7. 复数 等于 A. B. C. D. 8. 设 ，方程 的根有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 复数 的平方根是 A. B. C. D. 10. 在复平面上，复数 ，， 所对应的点分别是 ，，，则平行四边形 的对角线 的长为 A. B. C. D. 11. 已知 ，且 、 是实系数一元二次方程 的两个根，那么 、 的值分别是 A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 复数 的值是 A. B. C. D. 二、填空题（共7小题） 13. 已知 是虚数单位，若复数 ，则 ． 14. 已知 ，复数 的实部为 ，虚部为 ，则 的取值范围是 ． 15. 方程 的解集为 ． 16. 复数 的的辐角主值是 ，三角形式是 ． 17. 设 ， 为纯虚数（ 为虚数单位），则 ． 18. 若 ， 是一二次方程 的两根，则 ． 19. 若 是关于 的方程 的一个虚数根，则 的取值范围是 ． 三、解答题（共7小题） 20. 已知 ， 为两个复数． （1）求证：． （2）求证：． 21. 计算 的值． 22. 已知复数 满足 ， 的虚部为 ． （1）求复数 ． （2）设 ，， 在复平面内对应的点分别为 ，，，求 的面积． 23. 已知复数 ， 是实系数一元二次方程 的两根，且复数 在复平面内对应的点在第一象限，若 ，其中 是虚数单位． （1）求复数 ，． （2）若复数 满足 ，求 的最大值和最小值． 24. 求满足 且 的复数 ． 25. 将下列复数化为三角形式： （1）； （2）； （3）． 26. 【习题13.2 （A）】满足下列条件的复数在复平面上所对应的点 的集合分别是什么图形 （1）； （2）； （3）． 答案 1. D 2. D 【解析】因为 是关于 的实系数方程 的一个复数根， 所以 是关于 的实系数方程 的一个复数根， 所以 解得 ，． 3. A 4. A 【解析】若 ，则 解得 或 ， 所以“”是“”的充分不必要条件． 5. A 【解析】由题意，复数 ，则 ， 所以共轭复数 的虚部为 ． 6. D 【解析】由复数 的模为 ，辐角为 ， 可得 ． 所以 ． 7. D 【解析】因为 ， 所以 ． 8. C 9. D 10. B 【解析】向量 对应的复数为 ， 对应的复数为 ， 所以 对应的复数为 ， 所以 ． 11. A 【解析】法一：由复数根成对出现可知 ． 法二：由根与系数的关系知 而此方程又是实系数方程， 所以 和 是实数， 故 解得 12. A 【解析】， 所以 ． 13. 14. 15. 16. ， 【解析】复数 的模是 ，因为 对应的点在第一象限且辐角的正切 ， 它的辐角主值为 ，三角形式为：． 17. 18. 【解析】因为 ， 是一二次方程 的两根， 所以 ，， 所以 ． 19. 【解析】由 ，解得 ， 设 ， 则 ，， ，即 ， 所以 20. （1） 略． （2） 略． 21. ． 22. （1） 设 （）， 则 ，． 因为 的虚部为 ， 所以 ． 所以 或 ，即 或 ． （2） 当 时，，， 所以 ，，， 所以 ， 当 时，，， 所以 ，，， 所以 ． 综上， 的面积为 ． 23. （1） 设 ， 则 ， 由 ， 得 ， 所以 ，， 即 ，． 所以 ，． （2） 满足 的复数 在以原点为圆心，以 为半径的圆上， 而 ， 所以 的最大值为 ，最小值为 ． 24. 设 ． 由 ，即 ， 所以 ，得 ，所以 ． 又由 ，得 ，所以 ． 25. （1） （2） （3） 因为 ， 所以 26. （1） ... ...
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