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课件网) 高一数学（沪教版2020选修第二册） 第7章 概率初步（续） 7.3正态分布（第3课时） 学习目标 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量； 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点； 3.了解正态分布的均值、方差及其含义； 4.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. ?３ 正态分布 现今的信息时代，各媒体都充斥着数据，因此正确地理解数据成为非常重要的事．正态分布已经是生活中一个常用的词了．例如，我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布，某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等．那么，究竟什么是正态分布呢？平日所说的正态分布，大体上是指数据对称地分布在某个中心值两边，且离中心值越远，分布得越少 一包米的外包装上标示的 5 0 0 0 g，但实际上是有误差的．假设包装米的公司没有故意偷工减料，计量员精确地检测所有在售的该种米，把米包质量的频率分布直方图画出来，会是一个什么形状呢？图７-３-１中是一条峰值在５０００g左右的曲线，它具有一个单峰，粗略展示了一个正态分布的形状．实际上，很多测量数据的分布都呈现出这样的形状． 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布： 其中有两个参数： （１）μ是该分布的期望或均值； （２）σ２是该分布的方差，且总是假设σ＞０． 这个函数的图像如同钟形，如图７-３-２所示．该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 为了理解“一个函数所表达的分布”，要说明两点：第一，分布是指总数为１的量以某种方式分布在直线上；第二，该函数图像与x轴所夹部分的面积等于１，但这个事实需要用到高等数学的知识才能证明 定义 设X 是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数a与 b（a＜b），x 落在区间（a，b）上的概率p（a＜x＜b）等于三条直线：ｙ=０ 、 ｘ＝ ａ 、 ｘ ＝ ｂ与正态密度函数图像ｙ＝ 所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积， 如图７-３-３所示），那么X 服从正态分布（ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），或更准确地说，X 服从参数为μ、σ２的正态分布，记为 当μ＝０、σ２＝１时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作X～N（0.1），其密度函数 称为标准正态分布的密度函数，简记作Y＝φ（ｘ）．实际上，一般的正态分布的密度函数总是标准正态分布的密度函数的某种平移和伸缩变换，其形状保持钟形不变 用Φ（ｘ）表示标准正态分布的密度函数y＝φ（ｘ）从－∞到ｘ的累计面积，如图７-３-４所示，称为标准正态分布函数． 这个函数没有简单的表达式，其函数值可通过近似计算得到．我们也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值，如 容易验证y＝φ（ｘ）是一个偶函数，所以该函数在区间 （－∞，－r）上的面积等于其在区间（r，＋∞）上的面积，如 图７-３-５所示．此外，由于y＝φ（r）与r轴所围面积为１，因此 y＝Φ（r）满足 如果X～N（μ，σ２），那么将X 平移再伸缩后将服从标准正 态分布，即成立 这样，正态分布X～N（μ，σ２）的密度函数的图像是一条钟形 曲线，它关于直线x＝μ对称，其最大值在x＝μ处达到．在x＝μ的左侧，函数严格增，而在x＝μ的右侧，函数严格减，从而它是一条单峰曲线．当区间（a，b）在X轴上平移时，显然当μ处于该区间的中心时，概率p（a＜x＜b）即函数在区间（a，b）上的面积达到最大．因此，我们通常说正态分布集中在其期望μ的附近，即参数μ表示分布集中的位置． 另外一个参数σ描述的是分布的集中程度．从图７-３-２中可以看出，密度函数的最大值在x＝μ处达到，其最大值为 它与σ成反比．由于图像与x轴之间的区域的总面积是一个固定值１， ... ...
