初中数学竞赛专项训练 （三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖） 一、填空题： 1、G是△ABC的重心，连结AG并延长交边BC于D，若△ABC的面积为6cm2， 则△BGD的面积为（ ） A. 2cm2 B. 3 cm2 C. 1 cm2 D. cm2 2、如图10-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 3、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A ＝20°，如图10-2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置，其中A’、B’分别是A、B的对应点，B在A’B’上，CA’交AB于D，则∠BDC的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 4、设G是△ABC的垂心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则三角形的面积为（ ） A. 58 B. 66 C. 72 D. 84 5、如图10-3，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，△CEF的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、在△ABC中，∠A＝45°，BC＝a，高BE、CF交于点H，则AH＝（ ） A. B. C. a D. 7、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1 、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题 1、如图10-4，I是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠CIB＝＿＿ 2、在凸四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，则∠DAB的度数是＿＿＿＿＿ 3、如图10-5，在矩形ABCD中，AB＝ 5，BC＝12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿ 4、在一个圆形时钟的表面， OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。 5、已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于＿＿＿＿＿＿ 6、已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题 1、如图10-6，在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E，过D作AE的垂线与OA交于F。求证：OE＝OF 2、在△ABC中，D为AB的中点，分 别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。 求证：①△DEM≌△DFN ②∠PAE＝∠PBF 3、如图10-8，在△ABC中，AB＝AC，底角B的三等分线交高线AD于M、N，边CN并延长交AB于E。 求证：EM∥BN 4、如图10-9，半径不等的两圆 相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两于C、D两点，连结BC、CD，设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。 求证：① ②△KPM∽△NQK 参考答案 一、选择题 1、解：。选C。 2、解：在Rt△ABC中，∠C＝9 0°，∠A＝30°，则∠ABC＝60°，因为EB是∠B的外角的平分线，所以∠ABE＝60°，因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点，所以E点到CB的距离等于E到AB的距离，也等于E点到CA的距离，从而AE是∠A的外角的平分线。 所以，∠AEB＝180°－60°－75°＝45°。应选B。 3、解：依题意在等腰三角形B′CB中，有∠B′CB＝α，∠B′＝90°－20°＝70°。 所以α＝180°－2×70°＝40°，即∠DCA＝α＝40°， 从而∠BDC＝∠DCA＋∠A＝40°＋20°＝60°。应选D。 4、解：设AD为中线，则DG＝AG＝3，延长GD到G′，DG＝DG′＝3， 。应选C。 5、解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DA E＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，所以S△CEF ... ...
