中小学教育资源及组卷应用平台 9.2 用样本估计总体 【学习要求】 1.了解扇形统计图、折线统计图和频数直方图的概念和特征；理解频率直方图的含义及其制作步骤。 2.掌握从常见统计图表中获取有用的信息，体会统计数学在实际生活中的应用，通过实例，理解百分位数的含义。 3.掌握求样本数据的众数、中位数、平均数；.理解用样本的数字特征、直方图估计总体的集中趋势。 4.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差。 【思维导图】 【知识梳理】 1.总体离散程度的估计 （1）极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差. （2）方差与标准差：一组数据，，，，用表示这组数据的平均数， 则这组数据的方差：；标准差： （3）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差． （4）样本方差和标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差． （5）加权方差：如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为. 2.总体集中趋势的估计 （1）平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. ②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低. （2）众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势. （3）中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. ②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. 3.三种数字特征的优缺点 名 称 优 点 缺 点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众 数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 4.在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 5.第百分位数 （1）第百分位数的概念：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. （2）计算第p百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算；第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. （3）四分位数：在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计 ... ...
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