高考数学导数大题解题模板素材

更多最新精品资料尽在VIP资料群，具体介绍见文末 高考数学导数大题解题模板 【高考地位】 导数综合问题是高考的必考的重点内容，主要在导数解答题的的第 2小问，已由解决函数、数列、不 等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点 的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频 率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 目 录 类型一 利用导数研究不等式证明问题 类型二 利用导数研究不等式恒成立问题 类型三 利用导数研究函数零点问题 更多最新精品资料尽在VIP资料群，具体介绍见文末 类型一 利用导数研究不等式证明问题 万能模板 内 容 使用场景 一般函数的不等式证明问题 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等 式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构 造方法有： （1）直接构造法：证明不等式 f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数 h(x)＝f(x)－g(x)； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结 x x 解题模板 论，如 ln x≤x－1，e≥x＋1，ln x0)， ≤ln(x＋1)≤x(x>－ x 1 1)； （3）构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、 通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据 “相同结构”构造辅助函数； （4）构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此 函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和 g(x)，利用其最值求解. (2016·全国卷Ⅲ) 例 1 设函数 f(x)＝ln x－x＋1. （1）讨论 f(x)的单调性； x 1 （2）证明：当 x∈(1，＋∞)时，1＜ ＜x； ln x （3）设 c＞1，证明：当 x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx. 【解析】（1）（2）略 x （3）证明：由题设 c＞1，设 g(x)＝1＋(c－1)x－c ， [关键 1：利用要证明的不等式直接构造函数] c 1 x 则 g′(x)＝c－1－c ln c，令 g′(x)＝0，解得 x0＝ ln c . ln c 当 x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减. 更多最新精品资料尽在VIP资料群，具体介绍见文末 [关键 2：利用导数研究函数单调性、极值] c 1 由（2）知 1＜ ＜c，故 0＜x0＜1. ln c [关键 3：判断极值点所在的区间] 又 g(0)＝g(1)＝0，故当 0＜x＜1时，g(x)＞0. x 所以当 x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞c . [关键 4：利用函数单调性与极值点所在区间证得不等式] 【变式演练 1】 （作差法证明不等式） 【河南省郑州市第一中学 2021届高三上学期开学测试数学（文）】 1. 已知函数 f (x) (x sin x cos x)ex， f (x) 为 f (x) 的导函数． （1）设 g(x) f (x) f (x)，求 g(x)的单调区间； （2）若 x 0 ，证明： f x x 1． 【分析】 （1）根据题意，求得 g x , g x ，解三角不等式则问题得解； （2）构造函数h(x) f (x) 1 x ，通过二次求导，判断h x 的单调性，即可求得h x 的最小 值，则问题得解. 【详解】 （1）由已知， f (x) (1 cos x sin x)ex (x sin x cos x)ex (1 x 2sin x)ex ， 所以 g(x) f (x) f (x) (1 sin x cos x)ex ， g (x) (1 2cos x)ex ， 1 2π 2π 令 g (x) 0，得 cos x ，解得 2kπ x 2kπ,k Z ， 2 3 3 1 2π 4π 令 g (x) 0，得 cos x ，解得 2kπ x 2kπ,k Z， 2 3 3 2π 2π 故 g(x)的单调递增区间是 ( 2kπ， 2kπ),k Z； 3 3 2π 4π 单调递减区间是 ( 2kπ, 2kπ),k Z . 3 3 更多最新精品资料尽在VIP资料群，具体介绍见文末 （2）要证 f (x) x 1，只需证： f (x) 1 x 0． 设h(x) f (x) 1 x ， x 0 ，则h (x) f (x) 1 (1 x ... ...