山东省泰安市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（PDF版含答案）

泰安市名校 2022-2023学年高一下学期期中考试 数学试题解析 2023.5 一 单项选择题： 1. B 2. B 3. D 4. A 5. C 6. A 7. A 8. C 二 多项选择题： 9. BD 10. ACD 11.ACD 12. ACD 11.【详解】对于 A，由正弦定理可得 sinC cos B sin B cosC sin A a sin A， 因为0 A π，所以sin A 0，所以a 1， π 若B C 2A，且B C A π，所以 A ， 3 π b2 +c2 -a2 b2 +c2 -1 由余弦定理得 cos A= cos = = ， 3 2bc 2bc 由b 0,c 0，可得b2 + c2 = bc+1 2bc，即bc 1， ABC 1 bc sin A 1 3 3 3则 面积 ，所以 ABC面积的最大值为 ，故 A正确； 2 2 2 4 4 b 1 π 对于 B，若 A ，且a 1，由正弦定理得 sin B sin π ，4 4 所以sinB b sin π 2 b，当sin B 1 2时即 b 1，所以b 2 时有一解，故 B错误； 4 2 2 对于 C，若 C=2A，所以B= π-A-2A= π-3A，且 ABC为锐角三角形， π 0 A 2 所以 0 2A π 2 π π，解得 A ，所以 cos A , 3 2 6 4 ， 2 2 π 0 π 3A 2 a c 1 sinC sin 2A 由正弦定理 得 c 2cos A 2, 3 ，故 C正确；sin A sinC sin A sin A 对于 D，做OD BC交BC于点D点，则D点为BC的中点，且 BC 1， BD 设 OBD= ，所以 cos = ， BO BD 2 所以 BC BO BC BO cos BC BO BC BD 1 BC 1 2 2，故 D正确.BO 12.【详解】由题意，PC的中点 O即为P ABC的外接球的球心， 4 108 设外接球的半径为 R 3，则 πR ，得R 3， 3 3 在Rt PAB中，PA2 AB2 PB2 , 故 PB2 BC 2 PC 2 ,即 PA2 AB2 BC2 PC2 4 R2， 而 AB 2，所以 PA2 BC 2 32， V 1 1 AB BC PA 1 1鳖臑P ABC的体积 P ABC 2BC PA BC 2 16 PA 2 ，3 2 6 6 3 16 当且仅当 BC PA 4时，取得等号，故 (VP ABC )max ，故 A项正确，B项错误 ;3 V V 1V 8而 C ABO O ABC ，故 C项正确 ;2 3 设P ABC的内切球半径为 r，由题意知三棱锥P ABC的四个侧面皆为直角三角形， 1 1 由等体积法VP ABC AB BC 1 AB PA 1 AC PA 1 PB BC r 16 3 2 2 2 2 3 ， 而 AC AB 2 BC 2 4 16 2 5,PB AP 2 AB 2 2 5 ,PC 6 , 16 16 5 r 32 r 2 5 1得 ，所以 ，故 D项正确, 5 1 2 三 填空题： 13. 2 14. 32 2 15. 2 2 16. 2 16【详解】以 ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图， BC 因为等边 ABC的边长为 3，则 2r r 1，sin A A(1,0),B( 1 , 3 ),C( 1 3设 , ),P(cos ,sin )， 2 2 2 2 则 PA (1 cos , sin ),PB ( 1 cos , 3 sin )， 2 2 1 PC ( cos , 3 sin )，所以 PC PB ( 1 2cos , 2sin )， 2 2 所以 PA PB PC 1 cos ， 因为 1 cos 1，所以0 1- cosα 2，所以 PA PB PC 的最大值为 2． 四 解答题： r 17.【详解】（1）设向量 c x, y ，因为 a 1,2 ， c 2 5， c∥a， x2 y2 2 5 x 2 x 2 r 所以 ，解得 ，或 ,所以 c =y 4 (2,4)或 c 2, 4 ； 2x y y 4 r r r r （2）因为a 2b与2a b垂直，所以 a 2b 2a b 0， 2 2 5 2 2 所以2a a b 4a b 2b 0而 b ， a 1 2 5，2 所以2 5 3a 5 5 b 2 0，得a b ， 4 2 5 a b a b 2与 的夹角为 ，所以 cos 1，因为 0, ，所以 .a b 5 5 2 18.【详解】（1）设圆锥的底面半径为 r，高为 h. 由题意，得： 2 r 2 3 ，∴ r 3，∴h 3 ∴圆锥的侧面积 S1 rl 2 3 3 6 , 底面积 S2 r 2 3 , ∴表面积 S S1 S2 9 . 1 2 1 （2）由（1）可得：圆锥的体积为V1 r h 3 3 3 .3 3 r 3 h 3 又圆柱的底面半径为 ，高为 ， 2 2 2 2 2 r h 3 3 9 ∴圆柱的体积为V2 . 2 2 4 2 8 9 15 ∴剩下几何体的体积为V V1 V2 3 .8 8 19.【详解】（1）设 AD DC x， 7 x2 9 2 由余弦定理可得cos ADB ,cos CDB 7 x 7 x , 2 7x 2 7x 2 7 2 又 cos ADB cos CDB 7 x 9 x ， x 1，即 AC 2 . 2 7x 2 7 2 2 cos A 3 2 7 1 （2）由（1）知 ，因为0 A ，所以 A ， 2 3 2 2 3 由 S ABE S ACE S ABC 可得， 1 3AE sin 30 1 2AE sin 30 1 3 2 sin 60 ， 2 2 2 6 3 ... ...