高中数学教案 第四章三角函数(第24课时) 王新敞 课 题:48正弦函数、余弦函数的图象和性质(3) 教学目的: 1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 3掌握正弦函数y=Asin(ωx+φ)的周期及求法 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是 (0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1) 3.定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(-∞,+∞)], 分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R 4.值域 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1 ②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1 而余弦函数y=cosx,x∈R ①当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1 ②当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1 5.周期性 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 1周期函数x定义域M,则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无下界; 2“每一个值”只要有一个反例,则f (x)就不为周期函数(如f (x0+t)f (x0)) 3T往往是多值的(如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π 6.奇偶性 y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 7.单调性 正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1 二、讲解范例: 例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; (3)y=2sin(x-),x∈R 解:(1)∵y=cosx的周期是2π ∴只有x增到x+2π时,函数值才重复出现 ∴y=3cosx,x∈R的周期是2π (2)令Z=2x,那么x∈R必须并且只需Z∈R,且函数y=sinZ,Z∈R的周期是2π 即Z+2π=2x+2π=2(x+π). 只有当x至少增加到x+π,函数值才能重复出现 ∴y=sin2x的周期是π (3)令Z=x-,那么x∈R必须并且只需Z∈R,且函数y=2sinZ,Z∈R的周期是2π,由于Z+2π=(x-)+2π= (x+4π)-,所以只有自变量x至少要增加到x+4π,函数值才能重复取得,即T=4π是能使等式2sin[ (x+T)-]=2sin(x-)成立的最小正数 从而y=2sin(x-),x∈R的周期是4π 从上述可看出,这些函数的周期仅与自变量x的系数有关 一般地,函数y=Asin(ωx+),x∈R及函数y=Acos(ωx+),x∈R(其中A、ω、为常数,且A≠0,ω>0)的周期T= 根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期,如对于上述例子: (1)T=2π,(2)T==π,(3)T=2π÷=4π 例2不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0 (1)sin(-)-sin(-); (2)cos( ... ...
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