(
课件网) 9.4 乘法公式 第9章 整式乘法与因式分解 完全平方公式 平方差公式 知识点 完全平方公式 1 1. 完全平方公式 用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2. 文字描述：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和与它们积的 2 倍的和(或差). 这两个公式即为(乘法的)完全平方公式. 特别解读： 1. 弄清公式的特征： 公式的左边是一个二项式的完全平方， 公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和， 另一项是这两项的乘积的2 倍. 2. 理解字母a、b 的意义：公式中的字母a、b 可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式. 3. 口诀记忆：首平方，尾平方，积的2倍在中央，和是加来差是减，完全平方要记全. 2. 推导方法 (1)多项式乘法法则解释 (a+b)2 ＝(a+b)(a+b)＝ a2+ab+ab +b2 ＝ a2+2ab+b2， (a-b)2 ＝(a-b)(a-b)＝ a2-ab -ab+b2 ＝ a2-2ab+b2. (2)几何解释 如果把图9.4-1 看成一个大正方形，那么它的面积为(a+b)2. 如果把图9.4-1 看成是由2 个小长方形和2 个小正方形组成的，那么它的面积为a2+2ab+b2. 3. 拓展———完全平方公式的几种常见变形公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab； (2)(a+b)2=(a-b)2 +4ab； (3)(a-b) 2=(a+b)2-4ab； (4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； 例 1 计算： (1)(a－b)2； 解：(a－b)2 = [ a ＋ ( －b) ] 2 =a2+2 · a · ( －b) ＋ ( －b) ]2 =a2 － 2ab＋b2 . (1)(5+3p)2； 解： (5+3p)2 =52+2·5·3p+(3p)2 =25+30p+9p2； 加法交换律 例 2 (2)(2x-7y)2； 解：(2x-7y)2 =(2x)2-2·2x·7y+（7y2） =4x2-28xy+49y2； (3) (-2x-5)2 解：(-2x-5)2 =(-2a)2+2·(-2a)·(-5)+(-5)2 =4a2+20a+25 . 解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算. 方法点拨： 1. 利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤： (1)确定公式中的a、b；(2)确定和差关系； (3)选择公式；(4)计算结果. 2. 两个易错点： (1)套用公式时千万不能漏掉“2ab”项； (2)两个平方项的底数要带上括号. 例3 计算：(1)9992； 解：9992 =(1 000-1)2 =1 0002-2×1 000×1+12 =1 000 000-2 000+1 =998 001； 解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可. 方法点拨： 利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况： 一是接近整十、整百或整千的数. 将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差； 二是带分数. 将带分数拆分成整数部分与真分数的和或差. 知识点 平方差公式 2 1. 平方差公式 用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2. 文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式即为(乘法的)平方差公式. 2. 推导方法 (1)多项式乘法法则解释 (a+b)(a-b)＝ a2-ab+ab -b2 ＝ a2-b2. (2)几何解释 图①阴影部分的面积是a2-b2. 图②这个长方形的长是a+b、 宽是a-b，面积为(a+b)(a-b). 特别解读： 公式的特征： 1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. 2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方. 理解字母a、b 的意义：平方差公式中的a、b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式. 3. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2 - b2 符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2 -a2=b2-a2 系数变化 (3a+2b)(3a -2b)=(3a)2-(2b)2 =9a2 -4b2 指数变化 ( a3 +b2)(a3-b2)=( a3)2-(b2)2 =a6-b4 增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2 连用公式 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4 例 3 计算： (1)(5 ... ...
