【独家原创】2014年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（2）

【独家原创】2014年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编 解答题（2） 江苏泰州鸣午数学工作室编辑 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 31. （2014年浙江金华10分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P. （1）若AE=CF. ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数. ②若AE=2，试求的值. （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长. 【答案】解：（1）①证明：在△ABE和△ACF中，∵AB=AC，AE=CF，∠BAE=∠C=60°， ∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE． ∵△ABE≌△CAF，∴∠ABE=∠CAF. ∴∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°．∴∠APB =120°. ②∵∠BPF =60°=∠C，∴点C，E，P，F四点同圆. ∴. ∵AC=6，AE=2，∴. （注：没学习四点同圆和切割线定理的可由△APE∽△ACF得比例式求解） （2）如答图，作△ABP外接圆满⊙O，在⊙O的优弧上取一点G，连接AG，BG，AO，BO，过点O作OH⊥AB于点H. ∵由（1）可知∠APB =120°， ∴∠AGB =60°. ∴∠AOB =120°，∠AOH =60°. ∵AB=6，∴AH=3. ∴. ∴. ∴点P经过的路径长为. 【考点】1.动点问题；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5. 切割线定理；6. 锐角三角函数定义；7.特殊角的三角函数值；8.垂径定理；9.弧长的计算. 【分析】（1）①SAS可得△ABE≌△ACF，进而得出对应边相等；根据全等三角形的性质推出∠ABE=∠CAF再通过角之间的转化即可求解∠BPF的度数，从而得到的∠APB度数． ②应用点C，E，P，F四点同圆和切割线定理求解，或由△APE∽△ACF得比例式求解. （2）由（1）知∠APB =120°，即当点E从点A运动到点C时，∠APB保持不变，所以点P的运动路径是△ABP外接圆的半径为半径，∠AOB为圆心角的弧长，据此可求解. 32. （2014年浙江金华12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点. （1）求该抛物线线的函数解析式. （2）已知直线l的解析式为，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P. ①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积. ②当时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）∵抛物线以直线x=1为对称轴，∴可设该抛物线线的函数解析式为. ∵OA=OC=4，∴A（4，0），C（0，4）. ∵抛物线过点A，B，∴，解得. ∴该抛物线线的函数解析式为，即. （2）①当m=0时，直线l的解析式为， 如答图1，设直线x=1与x轴交于点M，与直线交于点N，过点H作HD⊥直线x=1于点D. 易知，△OMN和△PHN都是等腰直角三角形. ∵MP=OC=4，OM=MN=1，∴PN=3，DH=. ∴ ②存在. 当时，直线l的解析式为， i）当点P在OC边上时，如答图2，设点P的坐标为，点F的坐标为，过点F作FI⊥y轴于点I.则，即. ∴， . 若以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形，则有 PE=EF，即，解得， ∴点P的坐标为； PE=PF，即，解得，∴点P不存在； EF=PF，即，解得，∴点P不存在. ii) 当点P在CB边上时，如答图3，设点P的坐标为，点F的坐标为，过点F作FI⊥PE于点I. 则，即. ∴， . 若以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形，则有 PE=EF，即，解得， ∴点P不存在； PE=PF，即，解得， ∴点P不存在； EF=PF，即，解得，∴点P不存在. iii) 当点P在BA边上时，如答图4， 由A（4，0），B（2，4），应用待定系数法可得直线AB的解析式为. 设点P的坐标为，点F的坐标为，过点F作FI⊥PE于点I. 则，即. ∴， . 若以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形，则有 PE=EF，即，解得或（ ... ...