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课件网) 第六章 平面向量初步 6.1.2 向量的加法 Part one Part two 1 2 Contents 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 Part three 3 多个向量相加 Part four 4 探索与探究 Part three 5 课堂小结 1 向量加法的三角形法则 情境与问题 如图所示，假设某人上午从点 A 到达了点 B，下午从点 B 到达了 C. （1）分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； （2）这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述. ● A ● B ● C 位移 可以看出位移 和 的和. 一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作 a， b，作出向量 ，则向量 称为向量 a 与 b 的和（也称 为向量 a 与 b 的和向量）。向量 a 与 b 的和向量记作 a + b，因此 . 当 a 与 b 不共线时，求它们的和可用下图所示.因为此时 a，b，a + b 正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则. b a a b a + b 当 a 与 b 共线时，求它们的和可用下图表示. a b a b a + b a b a b a + b 值得注意的是，对任意向量 a ，有 a + 0 = 0 + a = a . 由上可看出，向量 a，b 的模与 a + b 的模之间满足不等式 a b a + b a b . 例题精讲 例1 已知 ， ，求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时 a 与 b 的关系. a b a + b a + b a b 解 由 可知 的最大值为 ， 当且仅当 a 与 b 方向相同时取得最大值. 例题精讲 由 可知， 的最小值为 ， 当且仅当 a 与 b 方向_____时取得最小值. a b 相反 2 向量加法的平行四边形法则 情境与问题 ● A B C 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则.因此，情境中的物体不会沿着 或 所在的方向运动，其会沿着以 AB，AC 为邻边的平行四边形的对角线运动. 从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向，因此力是向量. 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力 或 所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？ 一般地，向量的加法满足平行四边形法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如下图所示，平面上任意给定两个不共线的向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作 a， b，以 AB，AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC，作出向量 ，因为 ，因此 . b a a b A B C D a + b 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则. 由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量 a，b，都有 a + b = b + a. 3 多个向量相加 思 考 从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到的和向量与另外一个向量相加.而且我们也已经知道，如同数与数的加法一样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？ 如图所示，（1）中给出了三个向量 a ，b，c ； （2）中先作出了向量 a + b，然后作出了向量（a + b）+ c； （3）中首先作出了向量 b + c，然后作出了向量 a +（b + c）. b a c （1） a + b a b c （a + b）+ c （2） a b c a +（b + c） b + c （3） 不难看出 （a + b）+ c = a +（b + c）， 即向量的加法运算满足结合律. 因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序.例如 （a + b）+（c + d）= a + [（b + c）+ d ] = [ （d + c）+ a ] + b， 因此，以上运算我们都可用 a + b + c + d 来表示. 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次收尾相接， ... ...
