第1章 集合与常用逻辑用语 §1.1集合的概念 1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 集合三要素：确定性、互异性、无序性. 2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等. 3.元素和集合的关系：属于 (a∈A)和不属于 (a A). 4.常见数集：自然数集：N；正整数集：N *或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集R. 5.集合的表示方法： (1)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法叫列举法. (2)描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P x 的元素 x所组成的集合表示为 x∈A P(x) ，这种 表示集合的方法称为描述法. §1.2集合间的基本关系 1.子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A B. 2.真子集：如果集合A B，但存在元素 x∈B，且 x A，则称集合A是集合B的真子集.记作：集合A B(或B A). 3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有 2n个子集，2n-1个真子集. §1.3集合的基本运算 1.并集：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合集合A是集合B与B的并集.记作：A∪B.即 A∪B= x x∈A,或 x∈B . 2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A是集合B与B的交集.记作：A∩B.即 A∩B= x x∈A,且 x∈B . 3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作： UA,即 UA={x|x∈U,且 x U}. §1.4充分条件与必要条件 1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题； 2.充分条件.必要条件与充要条件 如果“若 p，则 q”为真命题，是指由 p通过推理可以得出 q，我们就说由 p可以推出 q，记作 p q，并且说 p是 q的充分条件，q 是 p的必要条件； 如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p不能提出结论 q，记作 p q，我们就说 p不是 q的充分条件，q不是 p的必要条件； 如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 p q，又有 q p，就记作 p q 此时则 p是 q的充分条件，也是 q的必要条件，我们就说 p是 q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果 p q，那么 p与 q互为充要条件. §1.5全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为 x∈Μ，p(x). (2)存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为 x∈Μ，p(x). 1 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题 p： x∈Μ，p(x)，它的否定 p： x∈Μ， p(x). (2)存在量词命题 p： x∈Μ，p(x)，它的否定 p： x∈Μ， p(x). 2 第2章 一元二次函数、方程和不等式 §2.1等式性质与不等式性质 1.作差法比较大小 a> b a- b> 0； a< b a- b< 0； a= b a- b= 0. 2.不等式的基本性质 (1) (对称性)a> b b> a (2) (传递性)a> b，b> c a> c (3) (可加性)a> b a+ c> b+ c (4) (可乘性)a> b，c> 0 ac> bc；a> b，c< 0 ac< bc (5) (同向可加性)a> b，c> d a+ c> b+ d (6) (正数同向可乘性)a> b> 0，c> d> 0 ac> bd (7) (正数乘方法则)a> b> 0 an> bn(n∈N ,且n> 1) §2.2基本不等式 ①重要不等式：a2+b2≥ 2ab a,b∈R ，(当且仅当 a= b时取 " = "号). 变形公式：2(a2+b2)≥ (a+ b)2 a,b∈R a+ b ②基本不等式： 2 ≥ ab a,b∈R + ，(当且仅当 a= b时取到等号). 2 变形公式：a+ b≥ 2 ab a+ b；ab≤ 2 . 用基本不等式求最值 ... ...
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