第十讲 指数函数 重难点一、指数图像综合 【例1】已知，，若对，， ，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【分析】:根据题意，问题转化为，时，；求出对应的最小值，再解不等式即可． 【解答】：，，， 等价于，， 当时，； 当时，， 所以， 解得， 所以m的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目． 【变式1】如图，面积为8的平行四边形，对角线， 与交于点 ，某指数函数，经过点，则（ ） A． B． C．2 D．3 【分析】:首先设点，则点B坐标为，又因为，所以；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入，求出a的值即可． 【解答】：设点，则点B坐标为， 又因为， 所以； 因为平行四边形 所以，， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题． 重难点二、指数复合综合 【例2】函数的递增区间是_____． 【答案】： 【解析】：令在上单调递增．又因为对恒成立，所以是增函数． 故的递增区间是． 【变式1】函数的单调递减区间为( ) A． B． C． D． 【答案】：B 解析：函数y＝u为R上的减函数，欲求函数 的单调递减区间，只需求函数的单调递增区间，而函数的单调递增区间为． 【变式2】已知函数满足，则函数的单调增区间是_____． 【答案】： 解析：∵ ，∴， ∴． 令，则． ∵是减函数，的减区间是， ∴的增区间是 ． 【例3】已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【解析】：由已知得， ∵原方程有两个不相等的实数根，∴， ∴， ∵2x＞0，∴， ∴，∴0＜a＋1＜1，∴． 即a的取值范围是． 【变式1】设函数则满足的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：当时，，所以，，即符合题意． 当时，，若，则，即，所以，综上所述， 的取值范围是，故选C 【例4】已知，求函数的值域． 【解析】：由， 解得． 又在x上是减函数， ∴， 故的值域为． 【变式1】若函数，则该函数在上( ) A．单调递减且无最小值 B．单调递减且有最小值 C．单调递增且无最大值 D．单调递增且有最大值 【解析】： 函数为减函数，，故，无最值． 【答案】： A 重难点三、指数参数综合 【例5】若存在正数使成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】：因为，所以由得，在坐标系中，作出函数，的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D． 【变式1】已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【解析】： 当时， 即 ， 【例6】已知． （1）求的值域； （2）设，时，对任意总有成立，求的取值范围． 【解析】：（1）设，则 当时，，的值域为 当时，，的值域为 当时，，在上单调递减，在上单调递增 的值域为 ┄┄┄┄┄6分 综上，当时的值域为 当时的值域为； ┄┄┄┄┄7分 （2）由题对任意总有 在满足 ┄┄┄┄┄9分 设，则， 当即时在区间单调递增 （舍去） 当时，不合题意 ┄┄┄┄┄11分 当时， 若即时，在区间单调递增 若即时在递减，在递增 ┄┄┄┄┄14分 若即时在区间单调递减 （舍去） ┄┄┄15分 综上所述： ┄┄┄┄┄16分 【变式1】定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】：（Ⅰ）因为是奇函数，所以， 即 又由 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 设则 因为函数在R上是增函数且 ∴ 又 ∴即 ∴在上为减函数。 因是奇函数，从而不等式： 等价于， 因为减函数，由上式推得：．即对一切有：， 从而判别式 【例7】设函数是定义在的奇函数 （1）求的值 （2）若，试求不等式的解集 （3）若且在上的最小值为，求的值 【解析】：（1） （2）由在上单调递增 （3）由 令 对称轴 当时 即 ... ...
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