【培优复习】2023年中考数学热门专题：胡不归问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2023年中考数学培优复习热门专题：胡不归问题 一．选择题 1．如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若∠ACB＝30°，AC＝8，BC＝10，则4PA+2PB+2PC的最小值是（　　） A．4 B．36 C．4+2+6 D．16﹣10 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 4．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（　　） A．2+6 B．6 C．+3 D．4 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（　　） A．5 B．10 C．5 D．10 二．填空题 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为 ，点C坐标为（4，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+2BC的最小值为 　 　． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2．D，E分别是边AB，AC上的动点，且CE＝2AD，则BE+2CD的最小值为 　 　． 8．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD﹣BD的最小值为 　 　． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为 　 　． 11．如图， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　 　． 三．解答题 12．如图所示，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？ 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标； （3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值． 14．如图，△ABC是等边三角形． （1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数； （2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形； （3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由． 15．（1）观察发现：如图，点A是直线m上一点，点B是直线m外的一点，BC⊥射线AC于C，交m于点P，∠BAP＝∠PAC＝30°，AB＝4，则： ①BC＝　 　，PC：AP＝　 　； ②线段PA、PB、BC之间的数量关系为 　 　． （2）拓展探究：已知点A是直线m上一定点，点B是m外的一定点，∠BAP＝15°，点P直线m上一动点，设AB＝a，求证：PA ... ...