课件27张PPT。(ac＋bd)2 |α||β| α＝kβ (a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2 共线 (a1b1＋a2b2＋a3b3)2 利用柯西不等式证明相关不等式 利用柯西不等式求最值 运用柯西不等式求参数范围 课时作业（十）课件28张PPT。ad＋bc a＝b(或c＝d) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b3＋a2b2＋a3b1 a1bj1＋a2bj2＋a3bj3 a1b1＋a2b2＋…＋ anbn a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 用排序不等式证明不等式 运用排序不等式求最值 利用排序不等式求解简单的实际问题 课时作业（十一）课件25张PPT。正整数n 第k＋1 n≥n0 第一个值n0 n＝k＋1 数学归纳法的概念 用数学归纳法证明等式 归纳、猜想与数学归纳法证明 课时作业（十二）课件33张PPT。1＋nx 数学归纳法 贝努利不等式的简单应用 用数学归纳法证明不等式 归纳、猜想、证明 课时作业（十三）第二章 几个重要不等式 §1柯西不等式 1．1 简单形式的柯西不等式 1．2 一般形式的柯西不等式 课标解读 1.认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式． 2.理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程． 3.能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明. 1．简单形式的柯西不等式 (1)定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时等号成立． (2)柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 (1)定理2：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立． (2)推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有 (a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2， 当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”号成立． 1．不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式吗？ 【提示】 不是．柯西不等式中四个数的组合是有对应顺序的． 2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ 【提示】 不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在． 利用柯西不等式证明相关不等式 已知a，b∈R＋，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，求证(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)≥x1x2. 【思路探究】 如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证． 【自主解答】 (ax1＋bx2)·(bx1＋ax2) ＝(ax1＋bx2)·(ax2＋bx1) ≥(a＋b)2 ＝(a＋b)2x1x2. 又因为a＋b＝1， 所以(a＋b)2x1x2＝x1x2， 其中等号当且仅当x1＝x2时成立． 所以(ax1＋bx2)·(bx1＋ax2)≥x1x2. 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当地变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口． 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤. 【证明】 由柯西不等式 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2][()2＋()2] ＝(3x2＋2y2)(＋)≤6×＝11. 于是2x＋y≤. 设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【思路探究】 如何构造二组数是解决问题的关键． 【自主解答】 由柯西不等式 [()2＋()2＋()2][()2＋()2＋()2] ≥(·＋·＋·)2. 于是(＋＋)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2， 即＋＋≥a＋b＋c. 根据题目的结构特点，我们构造了，，；，，这二组数使问题得到证明． 设x1，x2，…，xn为正数，求证： (x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋)≥n2. 【证明】 由柯西不等式，得 (x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋) ≥(·＋·＋…＋·)2 ＝ ... ...
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