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课件网) 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 第一章 空间向量与立体几何 学习目标： 1.了解空间直角坐标系. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标． 学习重点：空间向量的坐标表示． 学习难点：空间向量的坐标表示. 如果三个向量，， 不共面， 那么对空间任一向量， 存在唯一有序实数组{x，y，z}， 使得=x+y+z. x y z (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. (2)基底不同，对于向量的分解形式不同. 复习引入 {， ， }为空间中的一个基底， ， ，叫做基向量. 设，， 为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 (称它们为单位正交基底)，以O为原点，分别 以，， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立 空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任一向量，可以把它平移到以原点O为起点， 得到=.由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组{x，y，z}，使得= xz， x，y，z称为向量在单位正交基底下的坐标， 记作=(x，y，z)， 此时向量的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标. 知识点一：空间直角坐标系 x y z Q P O (x，y，z) (x，y，0) 走进教材 走进教材 1. 相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 走进教材 思考 空间直角坐标系有什么作用？ 答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 走进教材 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 ＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点二：空间一点的坐标 走进教材 思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案 x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)． y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)． z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)． 走进教材 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 ，作 ＝ .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 ＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 ＝(x，y，z)． 知识点三 空间向量的坐标 走进教材 思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 答案 点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量 的坐标也为(x，y，z)． 例1. 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)． (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式， 可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12)． 典例分析 典例分析 例2. (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长 ... ...
