2022-2023学年上海市重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市重点中学高二（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知两条直线，“”是“直线与直线的夹角为”的条件．( ) A. 必要非充分 B. 充分非必要 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 2. 平面直角坐标系上动点，满足，则动点的轨迹是( ) A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆 3. 已知集合，由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴给出下列结论： “水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； 阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； 在阴影部分中任取一点，则的最大距离为； “水滴”图形的面积是． 其中正确的有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 4. 过、两点的直线的倾斜角为，那么 _____ ． 5. 直线与直线平行，则 _____ ． 6. 过点与半径最小的圆的方程为_____ 7. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则 _____ ． 8. 若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是_____ ． 9. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 _____ ． 10. 过点作直线与圆：相切，则直线的一般式方程是_____． 11. 设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是_____ ． 12. 若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为_____． 13. 从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这条直线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为_____ ． 14. 直线与曲线的公共点个数为_____． 15. 已知对曲线的左、右焦点分别的、，过点且倾斜角为的直线交的右支于、两点在轴上方，且满足，则双曲线的离心率是_____ 结果用表示 三、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 本小题分 已知的三个顶点、、． 求直线的方程； 求的面积． 17. 本小题分 已知圆经过、、，圆：． 求圆的标准方程； 若圆与圆相切，求的值． 18. 本小题分 已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和． 求椭圆的标准方程； 是轴正半轴上的一点，求的最大值． 19. 本小题分 已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为． 求双曲线的标准方程； 斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点， 求的取值范围； 若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标． 20. 本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点． 求的周长； 当垂直于轴时，求直线的方程； 记与的面积分别为、，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：若直线与直线的夹角为， 则，即， 平方化简解得或， 则“”是“直线与直线的夹角为”的充分非必要条件． 故选：． 由两直线的夹角公式列方程解出值，再由充分非必要条件的定义求解． 本题考查充分必要条件的判断，考查两直线的夹角公式，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：由两点间的距离公式可知，表示点到点与点的距离之和为， 而点与点的距离恰好是，所以点的轨迹是点与点之间的线段． 故选：． 由题意可知到点与点的距离之和为，而点与点的距离恰好是，从而得到点的轨迹． 本题主要考查了动点轨迹方程的求解，属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：由，取，得， ，，即，解得， “水滴”图形与轴相交，最高点的坐标为，故正确； 由得，阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和， 则，，，故错误； 由，得， ， 当时，点到原点的距离取到最大值，故正确； “水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成， “水滴”图形的面积， 故错误． 其中正确的有个． 故选：． 把变形，得，利用三角函数的有界性求出的范围 ... ...