基础夯实练51：空间距离及立体几何中的探索问题-2024届高三数学一轮复习（含答案）

基础夯实练51 空间距离及立体几何中的探索问题 1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点． (1)求点N到直线AB的距离； (2)求点C1到平面ABN的距离． 2．(2023·北京模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点． (1)求证：BM⊥AB1； (2)若直线AB1与平面BCM所成的角为，求点A1到平面BCM的距离． 3.已知空间几何体ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD. (1)若BD＝BC，求证：BC⊥ED； (2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由． 4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面BEF⊥平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 5.(2022·北京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3. (1)求证：AB∥平面PCD； (2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值； (3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6.(2023·盐城模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点． (1)是否存在点P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出满足条件时C1P的长度并证明；若不存在，请说明理由； (2)当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF夹角的正弦值最小． 参考答案 1．解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，2,0)， C(0,4,0)，C1(0,4,4)， ∵N是CC1的中点， ∴N(0,4,2)． (1)＝(0,4,2)，＝(2，2,0)， 则||＝2， ||＝4. 设点N到直线AB的距离为d1， 则d1＝＝＝4. (2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)， 则由n⊥，n⊥， 得 令z＝2，则y＝－1，x＝， 即n＝. 易知＝(0,0，－2)， 设点C1到平面ABN的距离为d2， 则d2＝＝＝. 2．(1)证明　∵AA1⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC， ∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，设A1M＝a，a∈[0,1]， 则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，M(0，a,1)， ＝(－1，a,1)，＝(1,0,1)， ∵·＝0，∴⊥，∴BM⊥AB1. (2)解　设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)， 由(1)知＝(－1，a,1)，＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)， ∴ 取x＝1，得n＝(1,1,1－a)， ∵直线AB1与平面BCM所成的角为， ∴sin ＝＝＝， 解得a＝，∴n＝， ∵＝(1,0，－1), ∴点A1到平面BCM的距离d＝＝＝. 3．(1)证明　∵△ABC，△ECD是全等的正三角形，∴CD＝BC， ∵BD＝BC， ∴BD2＝BC2＋DC2，∴BC⊥DC， ∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD， ∴BC⊥平面ECD， ∵DE 平面ECD，∴BC⊥ED. (2)解　A，B，D，E四点共面． 理由如下， 如图，分别取BC，DC的中点M，N，连接AM，EN，MN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AM⊥BC，AM＝BC， ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC， ∴AM⊥平面BCD， 同理EN⊥平面BCD， 且EN＝CD ＝BC， ∴AM∥EN，且AM＝EN， ∴四边形AMNE是矩形， ∴AE∥MN，又MN∥BD， ∴AE∥BD，∴A，B，D，E四点共面． 4．(1)证明　∵△ABC是正三角形，E为AC的中点， ∴BE⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BE 平面ABC，∴PA⊥BE. ∵PA∩AC＝A， PA，AC 平面PAC， ∴BE⊥平面PAC. ∵BE 平面BEF， ∴平面BEF⊥平面PAC. (2)解　存在． 由(1)及已知得PA⊥BE， PA⊥AC， ∵点E，F分别为AC，PC的中点， ∴EF∥PA， ∴EF⊥BE，EF⊥AC. 又BE⊥AC， ∴EB，EC，EF两两垂直． 以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图 ... ...