22.2.5一元二次方程的根与系数的关系课件(共20张PPT)2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

(课件网) 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 九年级上 1. 理解一元二次方程根与系数的关系； 2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用. 学习目标 重点 难点 1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和x1·x2 的值． 2. 观察它们与方程的系数有什么关系？ 新课引入 解：方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 1，x2 = -4， 于是 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -4. 我们发现：这个方程的二次项系数为 1，它的两根之和 -3 等于一次项系数 3 的相反数，两根之积等于常数项 -4. 对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 一、一元二次方程的根与系数的关系 探究 我们来考察方程 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0 )． 由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 所以 新知学习 归纳 二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系： 设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q. 例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1) x2 + 3x - 5 = 0； (2)2x2 - 3x - 5 = 0. 解： (1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 x1 + x2 = -3，x1·x2 = -5. 解：(2) 方程两边同除以 2，得 设两根为 x1、x2，可得 例2 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的根与系数的关系． 解：方程两边同除以 a，得 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特例 ( 二次项系数为 1 )．利用这个结论，我们可以直接写出例 1 中 (2) 的答案： 归纳 方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0. 针对训练 1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2. 解：(1) x1 + x2 = -( -6 ) = 6，x1x2 = -15. (3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0， 2. 已知 x1，x2 是一元二次方程 x2 - 2x = 0 的两个实数根，则下列结论错误的是 (　　) A. x1 ≠ x2 B. x12 - 2x1 = 0 C. x1 + x2 = 2 D. x1 x2 = 2 D 二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例3 已知关于 x 的一元二次方程 x + ax + a - 5 = 0，若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根. 解：将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0， 解得 a = 2. ∴原方程为x + 2x - 3 = 0. 由根与系数的关系可知， 该方程的另一个根为 -3. 归纳 已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略： 已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根． 也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值． 例4 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x ＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. (1) (2) (3) (4) (5) 解：根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) (5) 与两根和、两根积相关的常用变形公式 针对训练 1. 若关于 x 的方程 x2 - 2x + c = 0 有一个根为 -1，则另一根为 (　　) A. -1 B. -3 C. 1 D. 3 D 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + k + 1 = 0，它的两根之积为－4，则 k 的值为 ( ) A. 4 B. -3 C. -4 D. -5 D 1．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_____. m＞ 2.已知一元二次方程 ax2 + bx ... ...