(课件网) 24.2 直角三角形的性质 九年级上 1.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2.能够应用直角三角形的性质定理解决几何问题. 学习目标 重点 难点 新课引入 想─想:直角三角形的两个锐角有什么关系 三边之间有什么关系 1.在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B= 2.在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间有什么关系 C A B ∠A＋∠B=90° 直角三角形的两个锐角互余. AC2 =AB2 +BC2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). 我们已经知道的直角三角形的性质有哪些？ 我们来探索直角三角形的其他性质. (1) 直角三角形的两个锐角互余. (2) 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 (勾股定理). C A B 一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 新知学习 任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，量一量，看看斜边上的中线与斜边的长短有什么关系？ C A B D 发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 你能证明这一发现吗？ 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线. 求证：CD = AB. 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明：延长 CD 到点 E，使 DE = CD，连接 AE、BE. ∵CD 是斜边 AB 的中线， ∴AD = BD. B C ∟ D E A 又∵DE = CD， ∴四边形 ACBE 是平行四边形. 又∵∠ACB = 90 ， ∴四边形ACBE 是矩形， ∴CE = AB. ∴ B C ∟ D E A 归纳 (3) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言： 在 Rt△ABC 中 ∵CD 是斜边 AB 上的中线， ∴CD = AD = BD = AB. ( 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ) C B A D 由此，我们得到直角三角形的又一条性质: C B A E F 例1 在 △ABC 中，∠B = ∠A，CD 是 ∠BCA 的平分线，点 E、F 分别是 BC、AC 的中点，求证 DE = DF. D ∵ ∠B = ∠A ， ∴CB=CA， 又 CD 是 ∠BCA 的平分线， ∴CD⊥AB， ∠CDB=∠CDA=90° . ∵点 E、F 分别是 BC、AC 的中点， ∴ DE=DF. 证明：连接DE，DF， ∴ DE=BC，DF=AC， 利用直角三角形的性质 3 ，可以解决某些与直角三角形有关的问题. 例2 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90 ° ，∠A = 30°. 求证：BC = AB. 证明：作斜边AB上的中线 CD， 则 CD = AD = BD = AB ( 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ) ∵∠A = 30°， ∴∠B = 60° ∴△CDB 是等边三角形， ∴BC = BD = AB. 二 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 C B A D 归纳 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∵∠A = 30° C B A D ∴CB = AB. 由例2可得： 1. 如图，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 BC边于点 D，BD = 16cm，则 AC 的长为_____. A C D B E 8 cm 随堂练习 2.如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点О处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30 海里.该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗 解:在Rt△AO中， ∠AOD=30°， AO=30 海里， ∴AD= AO= ×30 ≈ 25.98(海里) > 20海里， ∴该船如果不改变航向，没有触暗礁的危险. O A B D 60° 东 30 海里 3. 如图，在△ABC 中，BD、CE 是高，M、N 分别是 BC、ED 的中点，试说明：MN⊥DE. 解：连接 EM、DM. ∵BD、CE 是高，M 是 BC 中点， ∴在 Rt△BCE 和 Rt△BCD 中， EM = BC，DM = BC. ∴EM = DM. 又∵N 是 ED 的中点， ∴MN⊥ED N M D E B C A 性质1 直角三角形的两个锐角互余 性质2 勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 结论 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的性 ... ...
