基础夯实练62 圆锥曲线中求值与证明问题 1．(2023·晋中模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，求|AB|. 2．(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B. (1)证明：直线BC∥x轴； (2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8. 3．(2023·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值． 4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 5．在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，焦距与长轴之比为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积； (3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求·的值． 6．已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4. (1)求C的标准方程； (2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点． 7．若A，B，C(0,1)，D四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)上． (1)求椭圆T的方程； (2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|. 参考答案 1．解 (1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形， ∴b＝c， ∵椭圆过点P， ∴＋＝1，又a2＝b2＋c2， 解得a2＝2，b2＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 得(m2＋2)y2＋2my－1＝0， ∴ ∵＝2，∴y1＝－2y2， ∴ ∴22＝，∴m2＝， ∴|AB|＝·|y1－y2| ＝·|－3y2| ＝3·＝. 2．证明 (1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2， 设A，B， 所以直线AO的方程为y＝x， 由题意可得点C， 设直线AB的方程为x＝my＋2， 联立 整理可得y2－8my－16＝0， 所以y1y2＝－16，可得y2＝－， 所以yC＝y2， 所以BC∥x轴． (2)因为准线方程为x＝－2， 由题意可得E(－2,0)， ＝， ＝， 因为BE⊥BF， 所以·＝0， 即y＋＝0， 解得y＝－32＋16，x2＝2－4， 由(1)可得x1x2＝＝＝4， 所以x1＝2＋4， |AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2， 所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8. 3．解 (1)由题意可知 A(－a,0)，B(a,0)， 设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b， △ABM的面积为 ·2a·≤ab， 因为△ABM的面积最大值为2， 所以ab＝2， 又因为椭圆的离心率为， 所以＝， 于是 所以椭圆C的标准方程为 ＋＝1. (2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)， B(2,0)， 由题意可知直线l的斜率不为零， 所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得 (3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 设N(x2，y2)， 所以y1＋y2＝， y1y2＝ ... ...
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