中小学教育资源及组卷应用平台 专题八 新定义问题 1.对任意两个实数a，b定义两种运算：并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于( ) A. B.3 C.6 D. 2.我们知道, 如果直角三角形的三边的长都是正整数, 这样的三个正整数就叫做一组勾股数. 定义: 如果一个 正整数m能表示为两个正整数 a,b的平方和, 即, 那么称m 为广义勾股数. 下面的结论: ① 7 不是广义勾股数; ②13 是广义勾股数; ③两个广义勾股数的和是广义勾股数; ④两个广义勾股数的积是广义勾股数; ⑤若，，, 其中x,y,z,m,n 均为正整数, 则x,y,z 为一组勾股数; ⑥一个正奇数 (除 1 外) 与两个和等于此正奇数的平方的连续正整数是一组勾股数. 正确的是( ) A.①②⑤⑥ B.①③④⑤ C.②④⑥ D.②④⑤⑥ 3.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( ) （1）,; （2）若,则; （3）若,m,n均取整数,则或或; （4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,; （5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于,记为,这个数i叫做虚数单位,把形如为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似: 例如计算:; ; ; . 根据以上信息,完成下面的计算: _____. 5.定义:在平面直角坐标系xOy中,如果将点绕点旋转得到点Q,那么称线段PQ为“拓展带”,点Q为点P的“拓展带”. （1）当时,点的“拓展带”坐标为_____. （2）如果,当点的“拓展带”N在函数的图象上时,t的值为_____. 6.新定义:在平面直角坐标系中,对于点和点,若满足时,;时,,则称点是点的限变点.例如:点的限变点是,则点的限变点是_____.若点在二次函数的图象上,则当时,其限变点的纵坐标的取值范围是_____. 7.阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化. 对数的定义：一般地，若(且)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： (，，，)，理由如下： 设，，则，， ，由对数的定义得 又， . 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_____； (2)求证：(，，，)； (3)拓展运用：计算_____. 8.定义 如果一个正整数等于两个连续偶数的平方差, 那么称这个正整数为 “奇巧数”. 发现 数28,32,36 中, 是 “奇巧数” 的是 探究 已知正奇数的 4 倍一定是 “奇巧数”, 设一个正奇数为 (n为正整数), 请你论证这个结论. 9.已知一个三位自然数N, 若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字为 0 , 则称这个数为“雪花 数”, 并把其十位数字与个位数字的乘积记为. 定义 为 “雪花 数”, m,n为常数),已知，. 例如: 945，，945是 “雪 花数”, ，634，，634不是 “雪花数”. (1)请填空: 817 _____“雪花数”, 527_____ “雪花数” (填“是”或“不是”); (2)求出常数m,n 的值; (3)已知s 是个位数字不为 1 的 “雪花数”, 其十位数字为, 个位数字为b, 将s 的个位数字移 到十位上,十位数字移到百位上, 百位数字移到个位上, 得到一个新数, 若s 与 的差能被17整 除, 求出所有满足条件的 s及由这些s 两两组合形成的P 的值. 答案以及解析 1.答案：A 解析：，故选A. 2.答案：A 解析：7 不能表示为两个正整数的平方和, 7不是广义勾股数,故结论 ① 正确., 13是广义勾股数,故结论②正确. 两个广义勾股数的 和不一定是广义勾股数, 如 5 和 10 是广义勾股数, 但是 它们的和 15 不是广义勾股数, 故结论③错误 . 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数, 如 2 和 2 是广义勾股数, 但 ，4 不是广义勾股数, 故 结论④错误. , 即. 又x,y,z 均为正 ... ...
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