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课件网) 傅里叶变换 Fourier Transform 傅里叶变换 Fourier Transform 一、定义 函数g(x)在(-∞, +∞)上满足狄氏条件(绝对可积,有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数 为函数g(x)的傅里叶变换, 记作: G(f)= {g(x)}=F.T.[g(x)], 由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换: 记作: g(x)= -1{G(f)}. 显然 -1 {g(x)}= g(x) F.T. F.T.-1 综合可写: g(x) G(f) g(x): 原函数, G(f): 像函数或频谱函数 §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 一、定义 x 和 f 称为一对共轭变量, g(x)和G(f)称为傅里叶变换对 描述了各频率分量的相对幅值和相移. G(f) 一般是复函数, G(f) =A(f)e jf (f) 振幅谱 位相谱 推广到二维情形: §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 二、广义 F.T. 对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法. 例: g(x,y)=1, 在(- , + )不可积 某个可变换函数组成的系列 不符合狄氏条件的函数, 其变换式的极限 原来函数的广义F. T. 可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 则 {g(x,y)}=lim {rect(x/t)rect(y/t)} t {1} = d(fx, fy) {rect(x/t)}= t sinc(tf) §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 共轭函数的 F.T. 若g(x) G(f), g*(x) F.T. F.T. 相似性: {g(x)}=g(-x) 以上性质可以用来求函数的F.T. {d(fx, fy)} =1 §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质 1. 线性定理 Linearity 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T. F.T. 2. 空间缩放 Scaling {ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy) F.T.是线性变换 §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 空间缩放 注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b<1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然. g(x) x 0 1/2 -1/2 1 g(ax) a=2 x 0 1/4 -1/4 1 f G(f) 0 1 -1 1 f 0 2 -2 1/2 空域压缩 F.T. F.T. 频域扩展 §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 四、 F.T.定理 3. 平移定理 Shifting 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. {g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa,fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa,fy- fb) 复指函数的F.T.是移位的d 函数 {g(x-a, y-b)}= G(fx,fy) exp[-j2p(fxa+fyb)] {d(x-a, y-b)}= exp[-j2p(fxa+fyb)] §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parsval)定理 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率) 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. Parsval定理说明,信号的能量由其频谱曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 四、 F.T.定理 5. 卷积定理 空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积. {g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy) 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T. F.T. {g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy) 空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积. 将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T. §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 利用卷积定理的例子 2. {tri(x)} = {rect(x)*rect(x)} = {rect(x)} {rect(x)} = sinc(f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x) x 0 1/2 -1/2 1 rect(x) x 0 1/2 -1/2 1 * tri(x) x 0 1 -1 1 x sinc2(x) 0 1 -1 1 F.T. f sinc(f) 0 1 -1 1 F.T. f sinc(f) 0 1 -1 1 F.T. {tri(x)} = sinc2(f ) §1-7 傅里叶变换 Fourier Transform 练习: P43, 1.25(1) ... ...
