2023年北京市首都重点大学附中高考数学段考试卷（含解析）

2023年北京市首都重点大学附中高考数学段考试卷 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是( ) A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则( ) A. B. C. D. 3. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为( ) A. B. C. D. 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知，分别是双曲线：的两个焦点，为双曲线上一点，且，那么双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 6. 已知无穷数列满足为常数，为的前项和，则“”是“和都有最小项”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数则下列结论正确的是( ) A. ， B. ， C. 函数在上单调递增 D. 函数的值域是 8. 已知直线：，为圆：上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为( ) A. B. C. D. 9. 已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于( ) A. B. C. D. 10. 某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色( ) A. 只与的奇偶性有关 B. 只与的奇偶性有关 C. 与，的奇偶性都有关 D. 与，的奇偶性都无关 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为_____ ；点到焦点的距离为_____ ． 12. 已知向量与共线，则 ． 13. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为块面积相等的区域除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致，种植密度和单株产量统计如下： 根据上表所提供信息，第_____ 号区域的总产量最大． 14. 已知函数，，，其中表示，中最大的数． Ⅰ若，则 ． Ⅱ若对恒成立，则的取值范围是 ． 15. 已知数列各项均为正数，且，给出下列四个结论： 对任意，都有； 数列不可能为常数列； 若，则数列为递增数列； 若，则当时，． 其中所有正确结论的序号是_____ ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 本小题分 在中，已知． 求的大小； 在下面个条件中选一个，使得唯一存在，并求其面积． ； ； ． 17. 本小题分 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传月日至月日的微信记步数信息，如图是职工甲和职工乙微信记步数情况： 从月日至月日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于的概率； 从月日至月日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于的天数为，求的分布列及数学期望； 如图是校工会根据月日至月日某一天的数据制作的全校名教职工微信记步数的频率分布直方图已知这一天甲和乙微信记步数在单位名教职工中排名按照从大到小排序分别为第和第，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图不用说明理由． 18. 本小题分 如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，平面交平面直线，、分别为棱，的中点． 求证：； 求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 19. 本小题分 已知． 求曲线在点处的切线方程； 判断极值点个数，并说明理由； 解不等式． 20. 本小题分 已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，． 求椭圆的标准方程； 当直线的斜率为时，在轴上是否存在一点异于点，使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等？若存在，求点坐标；若不 ... ...