北师版八年级数学第二学期期末常考压轴题训练（训练卷+解答卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 北师版八年级数学第二学期期末常考压轴题训练（解答卷） 1. 如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE． （1）发现 ①∠DCE的度数是 ； ②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ． （2）探究 如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE． 请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用： 如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长． 解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD=AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴∠ACE＝∠B， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ACE=60°， ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°； 故答案为：120°， ②∵△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD＝EC+CD， ∴CA＝BC＝CE+CD； 故答案为：CA＝CE+CD． （2）探究 ∠DCE＝90°；CA＝CD+CE． 理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． ∴△BAD≌△CAE(SAS)． ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE． ∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°， ∴∠ACE=45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°． ∵在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA， 且CB＝CD+DB＝CD+CE， ∴CA＝CD+CE． （3）应用 ∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝AC＝，CD＝1， ∴，AD=AE， ∴BD=BC+CD=3， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE， ∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°， ∴∠ACE=45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴． 2.已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处， CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ． （1）如图1，求证：AP＝BQ； （2）如图2，当PQ⊥BQ时，求AP的长； （3）如田3，设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系，并简述理由． 解:（1）证明：∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ； （2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H． ∵PQ⊥BQ， ∴∠PQB＝90°， ∵∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴∠CQB＝135°， ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠APC＝∠CQB＝135°， ∴∠APC＋∠CPQ＝180°， ∴A、P、Q共线， ∵PC＝2， ∴CH＝PH＝， 在Rt△ACH中，AH＝=， ∴PA＝AH PH＝； （3）解：结论：EP＋EQ＝EC或EP-EQ＝EC． 理由：①当点E在线段BQ上时， 如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O． ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠CAO＝∠OBE， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠OEB＝∠ACO＝90°， ∵∠M＝∠CNE＝∠MEN＝90°， ∴∠MCN＝∠PCQ＝90°， ∴∠PCN＝∠QCM， ∵PC＝CQ，∠CNP＝∠M＝90°， ∴△CNP≌△CMQ， ∴CN＝CM，QM＝PN， ∵CE＝CE， ∴△CEM≌△CEN， ∴EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45° ∴EP＋EQ＝EN＋PN＋EM MQ＝2EN，EC＝EN， ∴EP＋EQ＝EC． ②当点E在BQ的延长线上时，同法可得：EP EQ＝EC． 综上所述：EP＋EQ＝EC或EP-EQ＝EC． 3. 【问题背景】 如图1，等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，则边BC与边AB的数量关系为BC＝AB． 如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D， 则得到边BC与边AB的数量关系为___． 【迁移应用】 （2）如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD， ①求证：△ADB≌△A ... ...