中小学教育资源及组卷应用平台 专题10 一次函数与几何图形七大模型（精讲） 【专题前言】 一次函数与几何的综合题，共分为七大模型：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与平行四边形、一次函数与特殊的平行四边形、一次函数与面积问题，本文将针对这七大类进行方法与经典题型的专题总结。 【重要模型】 模型1.一次函数与等腰三角形 方法：两圆一线 例：点在轴上，使为等腰三角形。 第一步：画图： 第二步：分情况求解：标等边，用公式： ①当时， ②当时， ①两点间距离公式求出 ①利用三线合一做辅助线： ② ∴ ②∴ ∴ ③当时， ①求出； ②∵；∴ ∴ ∴设 ③求出中点代入，求得；④求出直线与轴交点 例1．（2022成都市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；（2）连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）∵四边形ABCO是正方形，∴∠COD＝∠OCP，∵OC＝CO， ∴当CP＝OD＝1时，△CPO≌△ODC，∴P（1，3）， 设直线OP的解析式为y＝kx，则有3＝k，∴直线OP的解析式为y＝3x． （2）当点P在线段BC上时，如图1中，S＝ CP CO＝t（0＜t≤3）， 当点P在线段AB上时，如图2中，BP＝t﹣3，AP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t， S＝3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）＝﹣t+6（3＜t≤6）， 综上所述，S＝． （3）如图3中， ①当DC＝DP1时，P1（2，3），②当DC＝DP2时，AP2＝＝，∴P2（3，）． ③当CD＝CP3＝时，BP3＝＝1，∴P3（3，2）． ④当P4C＝P4D时，设AP4＝a，则有22+a2＝32+（3﹣a）2，解得a＝，∴P4（3，）， 综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）． 变式1．（2022·广西·钦州市第四中学八年级阶段练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是_____． 【答案】，，， 【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论． 【详解】解：如图， ∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2）， ∴2=1+b,解得b=1，∴一次函数的解析式为：y=x+1，∴B（-1，0）． 当AB=AP时，∵B（-1，0），∴； 当AB=BP时，∵， ∴；当AP=BP时，则， 设P（t，0），则，解得：t=1，∴． 综上所述，P点坐标为：，，，． 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 变式2．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是_____． 【答案】（6，4）或（3，3）##（3，3）或（6，4） 【分析】先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求出b，根据△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°两种情况分别求点P的坐标，即可求解． 【详解】对于，令x=0，则y=2， 令y=0，则，解得：x=4， ∴点A（4，0），B（0，2）， ∴OB=2，OA=4， 把点B（0，2）代入，得：b=2， ∴直线PB的解析式为， 根据题意得：∠PBA≠90°， ①当∠BA P′=90°且AB=AP′，过A作AP′⊥AB，垂足为A，过P′作P′H′⊥轴， ∴∠AOB=∠P′H′A= ... ...
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