2.3 变量的相关性 【入门向导】 西方流传的一首民谣 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国． 马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多大呢？显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么样的关系？ 相关关系我们可以从以下三个方面加以认识： (1)相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系． (2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，还可能是伴随关系． (3)函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化． 例1 有下列关系： ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系； ④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中是相关关系的是_____． 解析 ②⑤中两变量间的关系是函数关系；①③④中两变量的关系是非确定性关系，是相关关系． 答案 ①③④ 将样本中的n个数据点(xi，yi)(i＝1, 2，…，n)描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．根据散点图中点的分布趋势可直观地判断并得出两个变量的关系． 散点图定义在具有相关关系的两个变量基础上，借助散点图，我们可以看两个变量关系的密切程度，进行相关回归分析． 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区 域，对于两个变量的这种相关关系，我们称正相关；如果散点图中的点散布在左上角到右下角的区域，我们称为负相关． 例2 某种产品的广告支出费x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 试就此数据判断x与y之间是否有相关关系． 分析 怎样看两变量之间是否有相关关系呢？从数据表中看得出来吗？目前，简明直观的方法是画出散点图． 解 根据所给数据，画出散点图如下图． 由图可知，这些点大致位于一条直线的附近，故知广告支出费x与销售额y之间具有相关关系． 在观察散点图特征时，我们会发现 有时各点大致分布在一条直线的附近，且可以画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x与y之间关系的直线的特征，即为n个偏差的平方和最小．设所求直线方程＝a＋bx，其中a，b是待定系数，则i＝a＋bxi(i＝1,2，…，n)．于是得到各个偏差yi－i＝yi－(bxi＋a)(i＝1,2，…，n)． 显然，偏差yi－i的符号有正有负，若将它们 相加会造成相互抵消，故采用n个偏差的平方和Q＝ (yi－bxi－a)2.采用最小二乘法可求出使Q为最小值时的a和b. ＝＝， ＝－， 其中＝xi，＝yi. 例3 设对变量x、y有如下观察数据： x 151 152 153 154 156 157 158 160 160 162 163 164 y 40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5 (1)画出散点图； (2)如果变量x、y有线性关系，求出回归直线方程. 解 (1)画出散点图． (2)由(1)得变量x、y具有线性相关关系． 用计算器求得回归直线方程： ＝0.450x－27.759. 1．散点图及回归直线方程在实际中的应用有误 例1 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表： 人均GDP(万元) 10 8 6 4 3 1 患白血病的儿童数 351 312 207 175 132 180 (1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系； (2)通过计算可得两个变量的回归直线方程为＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？ 错解 (1)根据表中数据画 出散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不 ... ...
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