平面几何——2023年高中数学竞赛提升练（含解析）

平面几何———2023年高中数学竞赛提升练 1.中，为边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 2.如图，已知四边形是正方形，K为内一点，满足，则( ) A. B. C. D.以上答案都不对 3.凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G.已知，，，和分别为和的面积，则的值等于( ) A. B. C. D.前三个答案都不对 4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC上的动点(不与O，C重合)，作，垂足为G，分别交BC，OB于F，H，连接OG，CG.下列结论： ①； ②GO平分； ③； ④， 其中正确结论的题号是( ) A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 5.如图，已知在扇形中，半径，，圆内切于扇形(圆和，，弧均相切)，作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆，…的面积依次为，，…，那么_____. 6.已知正实数a，b，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的希罗平均数.点G为的重心且，则正数a，b的希罗平均数H的最大值是_____. 7.在三棱锥中，，，，.若和都是等腰直角三角形，则满足条件的有序实数对的个数为_____. 8.如图，四边形内接于圆O，是圆O的直径，和相交于点E，且. (1)求证：； (2)分别延长，交于点，过点A作交的延长线于点F，若，，求的长. 9.如图，给定外心为O的锐角，令D、E、F分别为A、B、C到对边的垂足.P为的外接圆在B和C处的切线的交点.一条经过P且垂直于的直线交直线于Q，R为A在上的投影.证明：. 10.如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，为圆直径，M为线段上一动点且满足. (1)证明：M为中点； (2)过O作的平行线交于点E，若F为的中点，证明：； (3)直线与圆的另一交点为N(如图2)，以为直径的圆与圆的另一交点为P.证明：若、、三线共点，则；反之也成立. 答案以及解析 1.答案：A 解析：设，， 以H为原点，、方向为x、y轴正方向如图建立空间直角坐标系， ， ，， 则，，，，则， 设，则， ， ，即， 即点P的轨迹方程为， 而直线平分线段，即点P的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过的外心， 故选：A. 2.答案：C 解析：解法一：根据题意，设，， 在中应用正弦定理，可得. 由于，在中应用正弦定理，可得， 也即. 令，， 则在上为增函数，而， 故的解为. 解法二：过点D作，交延长线于点E， 则，故，故，所以. ， 所以A，B，C，D，E五点共圆，连结，如图.有， 所以垂直平分，即，所以. 故选：C. 3.答案：A 解析：如图，设与交于点H，过A作，交于T， 则，设，则，故，， 故，故，故，而， 设，则，故，故. 而，，故. 进而， 因此. 故选：A. 4.答案：C 解析：对于①：四边形是正方形， ，， ， . ， ， ，故①正确； 对于②：，， ， ， ， ， ， ，即平分， 故②正确； 对于④：， ， ，故④正确； 对于③：如图，取中点M，连接，. ， ， 点G在以为直径的上， 若，同理可得，点G在以为直径的圆上， 点G不可能同时在两个不同的圆上， 是不成立的，故③错误； 故选：C. 5.答案： 解析：设圆与弧相切于点D， 圆，圆与分别切于点C，E， 则，. 设圆，圆，圆，…， 因为， 所以. 在中， 则， 即， 解得. 在中，， 则， 即， 解得. 同理可得，， 所以. 故答案为：. 6.答案：3 解析：依题意，因为点G为的重心， 所以， 所以， 即又， 所以，即. 因为， 所以. 故答案为：3. 7.答案：3 解析：如图所示，为等边三角形，且，都是等腰直角三角形， 分类讨论如下： ①，时，， 此时中，. 所以，，， 此时，，，. ②，时，， 此时中，， 此时，此时，，. ③，时，， 此时中，， 此时，此时，，. 所以a，b，c的取值有3种不同情况. 故答案为：3. 8.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)因为， 所以，，，. ，. (2)因为为 ... ...