2022-2023学年江苏省南京市秦淮区重点中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知向量，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知，则( ) A. B. C. D. 3. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型若米，，，，，则塔尖之间的距离为米．( ) A. B. C. D. 4. 在中，，，则( ) A. B. C. D. 5. 在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 6. 已知，且，，则( ) A. B. C. D. 7. 记的内角，，的对边分别为，，已知，，则周长的最大值为( ) A. B. C. D. 8. 若，且，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10. 下列代数式的值为的是( ) A. B. C. D. 11. 记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是( ) A. 若，，，则是钝角三角形 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 12. 已知，则的值用可以表示为( ) A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 向量在向量方向上的投影向量 _____ ． 14. 函数的最小值为_____ ． 15. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为_____ 16. 如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当 _____ 时，的长度取得最大值，最大值为_____ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题分 已知． 求的值域； 若，，求的值． 18. 本小题分 已知，． 求的值； 若，，求的值． 19. 本小题分 在中，角，，的对边分别为，，已知． 求角的大小； 若为线段延长线上一点，且，，求． 20. 本小题分 如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点． 若，求的值； 若，，求的值． 21. 本小题分 “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将连结，经测量，，霍尔顿发现无论多长，是定值霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值请你帮助霍尔顿解决以下问题： 求出的值； 求的最大值． 22. 本小题分 在直角中，，，为的中点，，分别为线段，上异于，的动点，且． 当时，求的长度； 若为的中点，设，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向量，， ， 则． 故选：． 利用向量坐标运算法则、向量数量积公式能求出结果． 本题考查向量坐标运算法则、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】 【解析】解：， ． 故选：． 由题意，利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求值即可． 本题主要考查二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：中，米，， 则米， 中，，米， 则米， 中，，米，米， 由余弦定理得米． 故选：． 由已知结合锐角三角函数先求出，，然后结合余弦定理可求． 本题主要考查了锐角三角函数的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 4.【答案】 【解析】解：在中，，， ，则， 则． 故选：． 求出，利用两角和差的正切公式进行转化求解即可． 本题主要考查正切值的求解，利用两角和差的正切公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题． 5.【答案】 【解析】解：，，设， ，又，，三点共线， ，，， ， ，当且仅当，即当时取最小值． ... ...
