北师大版数学九年级下册 第三章 圆——圆的对称性及垂径定理 讲义 （含知识点，无答案）

专题2 圆相关的概念及性质 （一）圆的定义 1.圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．　　　　 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 注： 　 ①确定圆需要两个因素，一是圆心，二是半径。圆心确定位置，半径确定其大小。 　②圆是一条封闭曲线，曲线是圆周，而不能认为是圆面. ③“圆上的点”指圆周上的点。 （二）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆上 d = r ； 点P在圆外 d ＞r. 说明：符号“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 注：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； （三）与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　 　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　 　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 注：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 　　 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 注：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心且角的两边与圆相交的角叫做圆心角. 注：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 6.弧、弦、圆心角的关系 （1）圆心角与弧的关系： 　　 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）圆心角、弧、弦的关系： 　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 注：一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； 　　 注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （四）确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. （4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 注：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在且唯一”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. （五）圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。圆有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 注：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。 （六）垂径定理 1.垂径定理 　　 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.　　　　　 注： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. （七）垂径定理的拓展 根据圆的对称性及 ... ...