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课件网) 第二十四章 圆 培优精练36 圆中的最值问题(福建热点) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD的最小值为_____． 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上的一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，连接CE，则线段CE的最小值是___． 8 2．[2023·厦门思明区月考]我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)，请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC的中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2＋EP2的最小值是____． 68 3．直线y＝－ x－2与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心为(0，2)且与x轴 相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为_____． 4．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(－2，0)，半径为2，点P为直线y＝－ x＋6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝3.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N两点，求MN的最大值． 解：如图，过点O作OG⊥AB于点G，连接OC，OM. ∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE， 只有C，O，G三点在一条直线上时，OG最小． ∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值． 过点C作CF⊥AB于点F， ∴G和F重合时，MN有最大值． ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，(
课件网) 第二十四章 圆 培优精练39 圆与抛物线问题(创新题型) [2023·福州平潭城关中学期中]已知抛物线y＝a(x－3)2＋ 过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A，B两点，如图，以AB为直径作圆，记作⊙D. (1)由题意可得抛物线的解析式为_____，D点坐标为_____； (3，0) 解得x＝－2或8. ∴A(－2，0)，B(8，0)． ∴OA＝2，OB＝8. ∴AB＝10. ∵以AB为直径作圆，圆心为D， ∴DA＝DB＝5. ∴DO＝DA－OA＝5－2＝3. ∴D(3，0)． (2)猜测直线CM与⊙D的位置关系，并证明你的猜想； 解：直线CM与⊙D相切．证明： 如图，连接DC，DM，MC，过点M作ME⊥y轴于点E. ∵点M为抛物线的顶点， ∵C(0，4)， ∴OC＝4. ∵MD⊥AB，EO⊥OB， EM⊥OE， ∴四边形MEOD为矩形． ∴CM2＋DC2＝DM2. ∴∠DCM＝90°.∴DC⊥MC. ∵DC为⊙D的半径， ∴直线CM与⊙D相切． (3)在抛物线第一象限的对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，能使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 解：存在． ∵点P在抛物线的对称轴上，对称轴为x＝3， ∴设点P(3，m)，则PD＝m. 如图，过点C作CG⊥DM于点G，过点C′作C′F⊥DM于点F. 由题意得∠CPC′＝90°，CP＝C′P，CG＝3，DG＝OC＝4. ∴∠CPG＋∠C′PF＝90°，PG＝DG－PD ＝4－m. ∵CG⊥DM， ∴∠CPG＋∠GCP＝90°. ∴∠GCP＝∠FPC′. 在△CGP和△PFC′中， ∴△CGP≌△PFC′(AAS)． ∴CG＝PF＝3，PG＝C′F＝4－m. ∴DF＝PF＋PD＝3＋m. ∴C′(7－m，3＋m)． 如图，抛物线的顶点为A(0，2)，且经过点B(2，0)．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝ ，OC⊥AB于点C. (1)求抛物线的函数解析式． 解：∵抛物线的顶点为A(0，2)， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋2. ∵抛物线经过点B(2，0)， ∴4a＋2＝0.解得a＝－ ， ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋2. (2)求证：直线AB与⊙O相切． 证明：∵A(0，2)，B(2，0)， ∵OC⊥AB， ∴OC是⊙O的半径． ∴直线AB与⊙O相切． (3)已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M.当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长． 当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时， ... ...
