中小学教育资源及组卷应用平台 第12课圆的基本性质,圆的弦切角定理、圆幕定理 知识梳理 1.圆的基本性质 (1)圆的通径定理:垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧(反之亦然). (2)在等(同)圆中相等的圆心角所对的弧、弦也相等. (3)等(同)弧所对的圆周角相等. (4)等(同)弧所对的圆周角等于圆心角的一半. (5)直径、半圆所对的圆周角等于直角,反之亦然. (6)圆的切线垂直于过切点的半径,直线与圆相切当且仅当圆心到直线的距离等于半径. (7)圆的切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线的长度相等. 2.圆弧及其扇形面积的计算公式(设圆的半径为) 圆心角为的弧长为,相应的扇形面积为 3.圆的弦切角定理 过圆的切线的切点作圆的弦,那么这条切线与这条弦所夹的角等于该角所夹弧所对的圆周角(图12.1). 4.圆幂定理 (1)圆的切割线定理:过圆外一点作圆的切线(切点为)和割线(交点为,则图12.2(a)]. (2)圆的割线定理(相交弦定理):过圆外(圆内)一点作两 图12.1条直线与圆相交,交点分别为点与点、点与点,则 图和(b). 5.其余知识点 (1)劣弧,优弧; (2)与形及其面积,圆雉的侧面积; (3)圆内接四边形的对角和定理、外角定理; (4)两个圆的位置关系:内含、内切、相交、外切、相离. 基础自测 1.如图12.3所示,将一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形的四边沿直线向右滚动(不滑动),当长方形滚动一周时,点经过的路线长为_____. 2.证明圆的弦切角定理. 已知:如图12.4所示,是圆的切线,是切点,与是圆的两弦,点不在的内部. 求证:. 3.证明圆的切割线定理. 已知:如图12.5所示,是圆的切线,是切点,经过点作圆的割线与圆交于,两点. 求证:. 4.证明圆的相交弦定理. 5.用两种方法证明圆的割线定理. 达标训练 6.如图12.6所示,已知半径都为3的三个圆两两外切,那么它们都内切于一个半径的大圆,也都外切于一个半径的小圆. A. B. C. D. 7.如图12.7所示,以圆上的动点为切点作该圆的切线,交直径的延长线于点,作的平分线交于点,交于点,则. A. B. C. D.不确定 8.是凸四边形对角线和的交点.已知三角形的周长相同.三角形的内切圆半径分别为3,4,6,则三角形的内切圆半径为. A. B.5 C. D.前三个答案都错 9.如图12.8所示,在中,,点在上,以为圆心,为半径的圆与相交于点,与相切于点,若,,则_____. 10.延长圆的一条直径至,且,过点作圆的切线,其中点为切点,,则直径弦长 11.如图12.9所示,在正方形中,点在上,以为圆心经过顶点作半圆,与以点为圆心,为半径的圆弧相外切,则_____. 12.如图12.10所示,扇形的圆心角,半径等于6,将扇形沿折痕折叠可以使点重合于点,则,图中阴影部分的面积_____. 13.已知点在半径为13的圆内,且,则在过点的所有弦中,最短弦长等于_____,弦长为整数的弦共有_____条. 14.如图12.11所示,圆与长方形的两长边相切,圆心是两条对角线的交点,再作一个小圆与大圆和边都相切,且圆心在对角线上.假设,则小圆的半径_____. 15.如图12.12所示,圆的直径和是该圆的两条切线,. (1)求证:. (2)是圆的一条切线吗 为什么 16.如图12.13所示,为等腰三角形内一点,圆与的底边交于两点,与底边上的高交于点,与分别相切于两点. (1)证明:. (2)若等于圆的半径,且,求四边形的面积. 17.如图12.14所示,为圆的直径,为圆的一条弧,为圆弧的中点,过点作的垂线,分别交和的延长线于点. (1)求证:为圆的切线. (2)若,求圆的半径. 18.(1)求证:若圆的内接四边形的两条对边与所在的直线相交于一点(图12.15),则. (2)为了加深理解(1)中的结论,请指出结论(1)的一个退化结论. 滚动复习 19.如图12.16所示,直线,将等腰直角三角板的直角顶点放在直线上,若,则. A. B. C. D. 20. 如图12.17所示,在四边形中,,则_____. 21.(1)方程的解是_____; (2)解方程:. 22.设,化简. 23.高中不少数学题可以化归为一个基本问题:已知点分别是正方形的两边的中点, ... ...
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