中小学教育资源及组卷应用平台 第13课整数及其带余除法、整除性、同余,一次不定方程 知识梳理 1.算术基本定理 对于任何正整数,都有唯一分解式 式(I)被简称为质因数分解式,其中是互异质数,是正整数. 2.带余除法 对于任意两个整数(被除数)和(除数),都存在整数和,使得 其中余数. 在式(II)中,若,则称被整除,或称整除,记作.例如, 3.几个结论 记正整数,则有结论: (1); ; ; ; ; . (2); ; . (3); ; . (4)且; 且. 4.带余除法的性质 在带余除法式(II)中,若对于不同的数对和,而有相同的数对,则称两个整数和对于模同余,记作.例如,. 5.裴蜀定理 关于的二元一次不定方程是整数有整数解.并且当时,若找出一组整数(特)解,则该方程的所有整数(通)解为 6.其余知识点 (1)质数、合数,完全平方数; (2)运用辗转相除法求两正整数的最大公约数,求二元一次不定方程的特解; (3)同余,剩余类,奇偶分析. 基础自测 1.满足的整数对(,共有. A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 2.从小往大数,第个质数(素数)依次是_____,_____,_____;第10个合数是_____. 3.9009的质因数分解式是的质因数分解式是9009与507的最大公约数;最小公倍数 _____. 4.三个正整数的最大公约数为,最小公倍数为, _____. 5.……_____. 6.在五个正整数中,能被6整除的数是_____;能被7整除的数是_____;能被9整除的数是_____;能被11整除的数是_____. 7.(1)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以36的所有正约数之和为 .参照上述方法,可求2000的所有正约数之和为 (2)一般地,设正整数,其中是互异质数,,是正整数,则的所有正约数之和等于多少 达标训练 8.600的所有( )个正因数的和等于( ). A.3 B.6 C.24 D.840 E.1260 F.其他数字 9.某机械的主动轮与从动轮相互啮合,主动轮有221齿,从动轮有377齿,两轮各有一齿啮合后再次啮合,主动轮需要转圈,从动轮需要转圈. A.11 B.13 C.17 D.23 E.29 F.其他数字 10.在前100个正整数中,被3整除但不被6整除的数有( )个,既不被4整除又不被5整除的数有个. A.15 B.17 C.28 D.60 E.65 F.72 11. 记!,则20!的末尾连续有_____个零. 12.被4除余数等于3的小于150的正整数共有_____个,其中的最大数为_____,所有这些正整数的和等于_____. 13.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为_____. 14.观察下列等式:,.按照这个规律,则的末尾数字是_____. 15.把自然数的平方数称为完全平方数(简称为平方数),例如是(完全)平方数,就不是(完全)平方数.则大于1000的最小完全平方数是_____,小于10000的最大完全平方数是_____;从小往大数,第100个(完全)平方数被3除的余数等于_____,前100个(完全)平方数分别被3除的余数之和等于_____. 16.足球比赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分.则一个足球队共打14场得19分的情况有_____种. 17.把一块长874米、宽646米的坡地平整成若干块面积相等的边长为整数的正方形实验田,求每块实验田的最大面积,以及此时有多少块这种实验田. 解作辗转相除法如图13.1所示,则 , , , . 于是,倒推代入得,……(请同学们完成后面的求解过程) 18.从前50个正整数中取出个数,使得其中任意两个数之和不能被7整除,求的最大值. 19.求方程的正整数解. 20.运用裴蜀定理求方程的整数解、正整数解及负整数解. 21.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何 ” 22.已知,其中是整数. (1)若是正整数,求正数的值; (2)若是负整数,求正数的值 ... ...
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