统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练27平面向量的数量积及其应用理（含答案）

专练27　平面向量的数量积及其应用 命题范围：平面向量的数量积及其几何意义、平面向量数量积的应用． [基础强化] 一、选择题 1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝(　　) A． B． C．2 D．7 2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，1)，且a⊥b，则实数x的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 3．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 5．[2023·江西省九江市模拟]已知单位向量a、b满足|a－2b|＝，则a·b＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos 〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为(　　) A．4 B．9 D．8 D．10 8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 9．[2023·全国乙卷(理)]已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若＝，则·的最大值为(　　) A． B． C．1＋ D．2＋ 二、填空题 10．[2023·安徽省江南十校一模]已知向量a＝(t，2)，b＝(－t，1)，满足|a－b|＝|a＋b|，则t＝_____. 11．[2022·全国甲卷(理)，13] 设向量a，b的夹角的余弦值为，且＝1，＝3，则·b＝_____． 12．已知向量b为单位向量，向量a＝(1，1)，且|a－b|＝，则向量a，b的夹角为_____． [能力提升] 13．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 14．[2023·全国甲卷(理)]已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 15．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝_____． 16．[2023·江西省景德镇市质检]已知e1，e2是两个单位向量，设a＝λe1＋μe2，且满足λ＋μ＝4，若|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，则|a|＝_____． 专练27　平面向量的数量积及其应用 1．A　|m|＝＝＝＝. 2．B　∵a⊥b，∴2x＋3＝0，∴x＝－. 3．C　因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C. 4．B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3. 5．C　由已知可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝3，解得a·b＝. 6．B　∵n⊥(tm＋n)，∴tm·n＋n2＝0， ∴t|m||n|cos 〈m·n〉＋n2＝0， ∴×t＋1＝0，得t＝－4. 7．B　依题意，得a·b＝x＋y－1＝0 x＋y＝1.＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．故选B. 8．B　设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|， ∴cos α＝，∵α∈(0，π)，∴α＝.故选B. 9．A　方法一　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－<θ<，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ. 所以·＝||||cos (＋θ)＝cos θcos (＋θ)＝cos θ(cos θ－sin θ)＝cos2θ－sinθcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos (2θ＋)≤＋，故选A. 方法二　以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O：x2＋y2＝1，点P(，0)，因为|OA|＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝，不妨设A(，). 设直线PD的方程为y＝k(x－)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由，得(k2＋1)x2－2k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4(k2＋1)(2k2－1)＝4－4k2>0，解得－1